Đăng nhập

Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 11 năm 2025–2026 — Cụm trường THPT, Sở GD&ĐT Bắc NinhMã đề 1104

Thời gian
120 phút
Số câu
34 câu
Đáp án
Có đáp án
Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn — 20 câu
Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai — 8 câu
Phần III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn — 6 câu

Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Câu 1

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCDS.ABCD có tất cả các cạnh bằng aa. Gọi MM là trung điểm của SDSD (tham khảo hình vẽ bên). Tan của góc giữa đường thẳng BMBM và mặt phẳng (ABCD)(ABCD) bằng

Hình chóp tứ giác đều S.ABCD với M là trung điểm của SD
  1. A

    33\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}

  2. B

    23\displaystyle \frac{2}{3}

  3. C

    13\displaystyle \frac{1}{3}

  4. D

    23\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}

Câu 2

Cho hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi MM, NN lần lượt là trung điểm của ABAB, ADAD và GG là trọng tâm tam giác SBDSBD. Mặt phẳng (MNG)(MNG) cắt SCSC tại điểm HH. Tính SHSC\frac{SH}{SC}

  1. A

    13\displaystyle \frac{1}{3}

  2. B

    23\displaystyle \frac{2}{3}

  3. C

    14\displaystyle \frac{1}{4}

  4. D

    25\displaystyle \frac{2}{5}

Câu 3

Có hai hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất chứa 3 quả cầu trắng, 7 quả cầu đỏ và 15 quả cầu xanh. Hộp thứ hai chứa 10 cầu trắng, 6 quả cầu đỏ và 9 quả cầu xanh. Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên ra một quả cầu. Tính xác suất để hai quả lấy ra có màu giống nhau.

  1. A

    207625\displaystyle \frac{207}{625}

  2. B

    137625\displaystyle \frac{137}{625}

  3. C

    42625\displaystyle \frac{42}{625}

  4. D

    32125\displaystyle \frac{32}{125}

Câu 4

Gieo ngẫu nhiên một con xúc xắc cân đối và đồng chất ba lần liên tiếp. Gọi AA là biến cố “Tổng số chấm xuất hiện trên ba con xúc xắc bằng 8”, BB là biến cố “Tích số chấm xuất hiện trên ba con xúc xắc không vượt quá 30”. Tìm xác suất của biến cố ABAB.

  1. A

    772\displaystyle \frac{7}{72}

  2. B

    18\displaystyle \frac{1}{8}

  3. C

    536\displaystyle \frac{5}{36}

  4. D

    19\displaystyle \frac{1}{9}

Câu 5

Trong năm đầu tiên đi làm, anh An được nhận lương là 12 triệu đồng mỗi tháng. Cứ hết một năm, anh An lại được tăng lương, mỗi tháng năm sau tăng 12% so với mỗi tháng năm trước. Mỗi khi lĩnh lương anh An đều cắt đi phần lương tăng so với năm ngay trước để tiết kiệm mua ô tô. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm thì anh An mua được ô tô giá 800 triệu biết rằng anh An được gia đình hỗ trợ 20% giá trị chiếc xe?

  1. A

    14

  2. B

    16

  3. C

    15

  4. D

    13

Câu 6

Một vận động viên bắn 3 viên đạn vào bia gồm các vòng 10 điểm, 9 điểm, 8 điểm, ... với 3 lần bắn độc lập. Xác suất để vận động viên bắn trúng vòng 10 điểm là 0,1; vòng 8 điểm là 0,2, vòng dưới 8 điểm là 0,35. Tính xác suất để vận động viên đó được ít nhất 28 điểm (tính chính xác đến hàng phần nghìn)

  1. A

    0,019\displaystyle 0,019

  2. B

    0,017\displaystyle 0,017

  3. C

    0,054\displaystyle 0,054

  4. D

    0,048\displaystyle 0,048

Câu 7

Cho hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy là hình thang đáy lớn là CDCD. Gọi MM là trung điểm của cạnh SASA, NN là giao điểm của cạnh SBSB và mặt phẳng (MCD)(MCD). Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?

  1. A

    MNMN và SDSD cắt nhau

  2. B

    MNMN và CDCD chéo nhau

  3. C

    MN//CD\displaystyle MN // CD

  4. D

    MNMN và SCSC cắt nhau

Câu 8

Cho khối gỗ có các mặt đều là một phần của mặt phẳng với (ABCD)//(EFMH)(ABCD) // (EFMH), CK//DHCK // DH. Khối gỗ bị hỏng một góc. Bác thợ mộc muốn làm đẹp khối gỗ bằng cách cắt khối gỗ theo mặt phẳng (α)(\alpha) đi qua KK và song song với (ABCD)(ABCD). Gọi I,JI, J lần lượt là giao điểm của DH,BFDH, BF với mặt phẳng (α)(\alpha). Biết BF=50cm,DH=70cm,CK=45cmBF = 50cm, DH = 70cm, CK = 45cm. Độ dài đoạn FJFJ gần nhất với giá trị nào sau đây?

khối gỗ có các mặt là một phần của mặt phẳng với các đỉnh A, B, C, D, E, F, H, M, K
  1. A

    25cm\displaystyle 25cm

  2. B

    28cm\displaystyle 28cm

  3. C

    20cm\displaystyle 20cm

  4. D

    18cm\displaystyle 18cm

Câu 9

Cho hình chóp S.ABCS.ABC có đáy là tam giác vuông tại AA, các cạnh AB=AC=aAB = AC = a, các góc SBA^=SCA^=90o\widehat{SBA} = \widehat{SCA} = 90^{o}. Gọi HH là hình chiếu vuông góc của SS lên (ABC)(ABC) và SH=a2SH = a\sqrt{2}. Gọi α\alpha là góc giữa hai mặt phẳng (SAB)(SAB) và (SAC)(SAC). Khi đó cos⁡α\cos \alpha bằng

  1. A

    22\displaystyle \dfrac{\sqrt{2}}{2}

  2. B

    32\displaystyle \dfrac{\sqrt{3}}{2}

  3. C

    23\displaystyle \dfrac{2}{3}

  4. D

    13\displaystyle \dfrac{1}{3}

Câu 10

Cho xx, yy là các số thực thỏa mãn log⁡2xlog⁡2(xy)+1=log⁡2ylog⁡2(xy)−1=log⁡2x+log⁡2y\dfrac{\log_2 x}{\log_2 (xy) + 1} = \dfrac{\log_2 y}{\log_2 (xy) - 1} = \log_2 x + \log_2 y. Khi đó tất cả các giá trị của x+yx + y bằng

  1. A

    x+y=2\displaystyle x + y = 2

  2. B

    x+y=12x + y = \dfrac{1}{2} hoặc x+y=2x + y = 2

  3. C

    x+y=2+124\displaystyle x + y = 2 + \dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}

  4. D

    x+y=2x + y = 2 hoặc x+y=84+124x + y = \sqrt[4]{8} + \dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}

Câu 11

Cho cấp số cộng (un)(u_n) có số hạng đầu bằng 1 và tổng 100 số hạng đầu bằng 14.950. Giá trị của tổng 1u1u2+1u2u3+⋯+1u49u50\dfrac{1}{u_1u_2} + \dfrac{1}{u_2u_3} + \dots + \dfrac{1}{u_{49}u_{50}} bằng.

  1. A

    74\displaystyle 74

  2. B

    49148\displaystyle \dfrac{49}{148}

  3. C

    4974\displaystyle \dfrac{49}{74}

  4. D

    148\displaystyle 148

Câu 12

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số mm để hàm số y=log⁡2026(x2−2x+3−m)y = \log_{2026} \left(x^2 - 2x + 3 - m\right) xác định với mọi x∈Rx \in \mathbb{R}.

  1. A

    m>−2\displaystyle m > -2

  2. B

    m<2\displaystyle m < 2

  3. C

    m>2\displaystyle m > 2

  4. D

    m<−2\displaystyle m < -2

Câu 13

Một đồng hồ treo tường, kim giờ dài 10,57cm10,57cm và kim phút dài 13,34cm13,34cm. Trong 30 phút mũi kim giờ vạch lên cung tròn có độ dài là bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

  1. A

    2,78cm\displaystyle 2,78cm

  2. B

    2,77cm\displaystyle 2,77cm

  3. C

    2,8cm\displaystyle 2,8cm

  4. D

    2,76cm\displaystyle 2,76cm

Câu 14

Cho phương trình (2cos⁡x−1)(sin⁡2x−m)=0(2\cos x - 1)(\sin 2x - m) = 0. Số giá trị của mm để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm thuộc (−π4;3π4]\left(-\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}\right] là

  1. A

    1\displaystyle 1

  2. B

    2\displaystyle 2

  3. C

    3\displaystyle 3

  4. D

    4\displaystyle 4

Câu 15

Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng aa. Số đo góc giữa hai mặt phẳng (A′BC)(A'BC) và (A′DC)(A'DC) là

  1. A

    600\displaystyle 60^{0}

  2. B

    450\displaystyle 45^{0}

  3. C

    300\displaystyle 30^{0}

  4. D

    900\displaystyle 90^{0}

Câu 16

Có bao nhiêu mm nguyên để phương trình 4(log⁡2x)2−log⁡12x+m−4=04\left(\log_{2} \sqrt{x}\right)^{2} - \log_{\sqrt{\frac{1}{2}}} x + m - 4 = 0 có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng (0;1)(0;1)?

  1. A

    1\displaystyle 1

  2. B

    Vô số

  3. C

    2\displaystyle 2

  4. D

    0\displaystyle 0

Câu 17

Giới hạn lim⁡n(n+4−n+3)\lim \sqrt{n}\left(\sqrt{n+4} - \sqrt{n+3}\right) bằng

  1. A

    +∞\displaystyle +\infty

  2. B

    0\displaystyle 0

  3. C

    12\displaystyle \frac{1}{2}

  4. D

    72\displaystyle \frac{7}{2}

Câu 18

Cho lim⁡x→+∞(x2+3x+1x+1+ax+b)=1\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{x^{2}+3x+1}{x+1} + ax + b\right) = 1. Khi đó giá trị của biểu thức T=a+bT = a + b bằng

  1. A

    0\displaystyle 0

  2. B

    −2\displaystyle -2

  3. C

    1\displaystyle 1

  4. D

    2\displaystyle 2

Câu 19

Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng aa và AB′⊥BC′AB' \perp BC'. Độ dài cạnh bên của lăng trụ bằng

  1. A

    a3\displaystyle \frac{a}{\sqrt{3}}

  2. B

    a2\displaystyle a\sqrt{2}

  3. C

    a2\displaystyle \frac{a}{\sqrt{2}}

  4. D

    a3\displaystyle a\sqrt{3}

Câu 20

Cho chóp S.ABCDS.ABCD có SA⊥(ABCD)SA \perp (ABCD), ABCDABCD là hình vuông cạnh 2a2a. Gọi M,NM, N lần lượt là trung điểm của SB,SDSB, SD. Góc giữa hai mặt phẳng (AMN),(ABCD)(AMN), (ABCD) là 45045^{0}. Khi đó độ dài SCSC bằng

  1. A

    3a2\displaystyle \frac{3a}{2}

  2. B

    a2\displaystyle a\sqrt{2}

  3. C

    a10\displaystyle a\sqrt{10}

  4. D

    2a5\displaystyle 2a\sqrt{5}

Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai

Câu 1

Cho hai hàm số f(x)=log⁡2(x2+4−x)f(x) = \log_{2}\left(\sqrt{x^{2}+4} - x\right). Các mệnh đề sau đúng hay sai?

  1. a)

    Phương trình (2−x2+3x+4−4)(f(x)−log⁡25)=0\left(2^{\sqrt{-x^{2}+3x+4}} - 4\right)\left(f(x) - \log_{2} 5\right) = 0 có 3 nghiệm phân biệt

  2. b)

    Tổng tất cả các nghiệm của phương trình f(x).f(−x)=−3f(x).f(-x) = -3 bằng 00

  3. c)

    Hàm số f(x)f(x) có tập xác định là R\mathbb{R}

  4. d)

    f(−2025)+f(−2024)+f(−2023)+...+f(2023)+f(2024)+f(2025)=4.050f(-2025) + f(-2024) + f(-2023) + ... + f(2023) + f(2024) + f(2025) = 4.050.

Câu 2

Số giờ có ánh sáng của một thành phố AA trong ngày thứ tt của năm 2026 được cho bởi một hàm số y=4sin⁡[π178(t−60)]+10y = 4\sin\left[\frac{\pi}{178}(t - 60)\right] + 10, với t∈Zt \in \mathbb{Z} và 0<t≤3650 < t \leq 365. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

  1. a)

    Thành phố AA có đúng 10 giờ có ánh sáng mặt trời vào 2 ngày trong năm

  2. b)

    Bạn An muốn đi tham quan thành phố AA nhưng lại không thích ánh sáng mặt trời, nên bạn chọn ngày ít nắng nhất trong năm, đó là ngày ngày thứ 18 trong năm

  3. c)

    Vào ngày 29 tháng 5 năm 2026 thì thành phố AA có số giờ có ánh sáng mặt trời chiếu nhiều nhất

  4. d)

    Ngày thứ 29 trong năm số giờ có ánh sáng mặt trời của thành phố AA là 88 giờ

Câu 3

Cho hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy là hình bình hành tâm OO. Gọi M,IM, I lần lượt là trung điểm của AB,SDAB, SD.

  1. a)

    IMIM cắt (SAC)(SAC) tại KK và IK=KMIK = KM

  2. b)

    OI//(SBD)OI // (SBD)

  3. c)

    MI//(SBC)MI // (SBC)

  4. d)

    AB//(SDC)AB // (SDC)

Câu 4

Lớp 12A12A có 22 học sinh; Lớp 12B12B có 33 học sinh; Lớp 12C12C có 55 học sinh. Xếp tất cả các học sinh trên lên một dãy ghế nằm ngang. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

  1. a)

    Xác suất các học sinh lớp 12A12A ngồi cạnh nhau và các học sinh lớp 12B12B ngồi cạnh nhau là 2!⋅3!⋅6!10!\frac{2!\cdot 3!\cdot 6!}{10!}

  2. b)

    Xác suất để ít nhất có 22 học sinh lớp 12A12A không ngồi cạnh nhau hoặc ít nhất có 22 học sinh lớp 12B12B không ngồi cạnh nhau là 5960\frac{59}{60}

  3. c)

    Xác suất các học sinh lớp 12A12A ngồi cạnh nhau là 2!⋅9!10!\frac{2!\cdot 9!}{10!}

  4. d)

    Xác suất để không có 22 học sinh nào cùng lớp ngồi cạnh nhau là 11635\frac{11}{635}

Câu 5

Một hộp chứa 4040 tấm thẻ cùng loại được đánh số lần lượt từ 11 đến 4040. Lấy ra ngẫu nhiên đồng thời hai thẻ từ hộp. Xét các biến cố

AA: "Tích các số ghi trên 22 thẻ lấy ra chia hết cho 1010".

A1A_1: "Tích các số ghi trên 22 thẻ lấy ra không chia hết cho 55"

A2A_2: "Tích các số ghi trên 22 thẻ lấy ra không chia hết cho 22".

Các mệnh đề sau đúng hay sai?

  1. a)

    A1A_1 và A2A_2 là hai biến cố độc lập

  2. b)

    P(A)=107390P(A) = \frac{107}{390}

  3. c)

    Số phần tử không gian mẫu là n(Ω)=780n(\Omega) = 780

  4. d)

    P(A1)=7195P(A_1) = \frac{7}{195}

Câu 6

Để tích lũy cho việc học đại học của cậu con trai đầu lòng, cô Lan quyết định hằng tháng bỏ ra 600600 nghìn đồng vào tài khoản tiết kiệm, được trả lãi 0,5%0,5\% cộng dồn hằng tháng. Cô bắt đầu chương trình tích lũy này khi cậu con trai tròn ba tuổi và gửi tiền vào đầu mỗi tháng. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

  1. a)

    Số tiền của cô Lan có trong chương trình vào thời điểm cậu con trai đầu lòng tròn 1818 tuổi nhỏ hơn 160160 triệu đồng

  2. b)

    Đến lần gửi khoản tiền thứ 180180 thì cậu con trai tròn 1818 tuổi

  3. c)

    Số tiền của cô Lan có trong chương trình ở đầu tháng thứ 55 (làm tròn đến hàng nghìn) là 3.030.0003.030.000 đồng

  4. d)

    Số tiền của cô Lan có trong chương trình ở đầu tháng thứ 22 là 0,6(1+0,5%)0,6(1 + 0,5\%) triệu đồng

Câu 7

Cho phương trình log⁡2(2x+1−2)=x+m\log_2(2^{x+1} - 2) = x + m (1)

  1. a)

    Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi m<2m < 2

  2. b)

    Với m=0m = 0 Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

  3. c)

    Giả sử rằng phương trình (1) có nghiệm x0x_0. Khi đó, giá trị nhỏ nhất của P=2x0−2m+2P = 2^{x_0} - 2^m + 2 bằng 222\sqrt{2}

  4. d)

    Với m=0m = 0, gọi x0x_0 là một nghiệm dương của (1) khi đó 32x0+y=813^{2x_0+y} = 81 khi và chỉ khi y=2y = 2

Câu 8

Cho hình lăng trụ ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCDABCD là hình chữ nhật có AB=2a,AD=2a3AB = 2a, AD = 2a\sqrt{3}. Hình chiếu vuông góc của A′A' lên mặt phẳng (ABCD)(ABCD) trùng với tâm OO của hình chữ nhật ABCDABCD, biết cạnh bên CC′CC' tạo với đáy một góc 60∘60^{\circ}.

  1. a)

    Độ dài A′O=2a3A'O = 2a\sqrt{3}

  2. b)

    Góc giữa hai đường thẳng A′BA'B và B′D′B'D' là góc A′BD^\widehat{A'BD}

  3. c)

    Cosin góc tạo với A′CA'C và mặt phẳng (A′BD)(A'BD) bằng 32\dfrac{\sqrt{3}}{2}

  4. d)

    Độ lớn góc nhị diện [B,A′B′,C][B, A'B', C] lớn hơn 54∘54^{\circ}

Phần III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 1

Một chiếc guồng nước có dạng hình tròn bán kính 2,52,5m; trục của nó đặt cách mặt nước 22m (hình vẽ). Khi guồng quay đều, khoảng cách hh (mét) từ một chiếc gầu gắn tại điểm AA của guồng đến mặt nước được tính theo công thức h=∣y∣h = |y| trong đó y=2+2,5sin⁡[2π(x−14)]y = 2 + 2,5 \sin\left[2\pi\left(x - \dfrac{1}{4}\right)\right] với xx là thời gian quay của guồng (x≥0)(x \geq 0), tính bằng phút (quy ước y>0y > 0 khi gầu ở bên trên mặt nước và y<0y < 0 khi gầu ở dưới nước). Chiếc gầu cách mặt nước 22m lần đầu tiên khi nào?

Hình vẽ guồng nước hình tròn bán kính 2,5m, tâm O cách mặt nước 2m, điểm A trên đường tròn với khoảng cách h đến mặt nước
Trả lời:

Câu 2

Trong trận thi đấu bóng bàn đơn nam giữa vận động viên Nguyễn Đức Tuân (người từng đoạt huy chương vàng đơn nam môn bóng bàn tại Seagames 31) với một vận động viên nước ngoài, trận đấu gồm tối đa 5 set, người nào thắng trước 3 set sẽ giành chiến thắng chung cuộc. Xác suất để vận động viên Tuân thắng mỗi set là 0,60,6. Tính xác suất để vận động viên Tuân giành chiến thắng trong trận đấu? (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Trả lời:

Câu 3

Tìm số nghiệm của phương trình thuộc đoạn [−10π;10π][-10\pi;10\pi]

sin⁡x+cos⁡xsin⁡2x+3cos⁡3x=2(cos⁡4x+sin⁡3x)\sin x + \cos x \sin 2x + \sqrt{3}\cos 3x = 2(\cos 4x + \sin^3 x)
Trả lời:

Câu 4

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D'. Gọi GG là trọng tâm tam giác A′BDA'BD, gọi MM là một điểm bất kỳ nằm trong miền tam giác A′BDA'BD. Gọi NN là giao điểm của AMAM và (B′D′C)(B'D'C). Biết AC′AG=x,ANAM=y\dfrac{AC'}{AG} = x, \dfrac{AN}{AM} = y. Hỏi x+yx + y bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Câu 5

Cho dãy số (un)(u_n) xác định bởi

{u1=2un=u1+2u2+…+(n−1)un−1n3−n,n=2;3;4;…\begin{cases} u_1 = 2 \\ u_n = \dfrac{u_1 + 2u_2 + \ldots + (n-1)u_{n-1}}{n^3 - n}, n = 2;3;4;\ldots \end{cases}

Tính lim⁡23(n3−n)un\lim \dfrac{2}{3}(n^3 - n)u_n (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Trả lời:

Câu 6

Mùa hè năm 2025, để chuẩn bị cho “học kì quân đội” dành cho các bạn nhỏ, một đơn vị bộ đội chuẩn bị thực phẩm dự kiến đủ dùng trong 45 ngày (năng suất của mỗi ngày là như nhau). Tuy nhiên bắt đầu từ ngày thứ 11, do số lượng thành viên tham gia tăng lên, lượng tiêu thụ thực phẩm đã tăng 10% mỗi ngày (ngày sau tăng 10% so với ngày trước đó). Hỏi thực tế lượng thức ăn đó đủ dùng trong bao nhiêu ngày?

các chiến sĩ bộ đội chuẩn bị bữa ăn cho các em nhỏ
Trả lời:
HẾT
Đăng nhập để làm bài