Đề thi học sinh giỏi Toán 11 cấp tỉnh năm 2024 — Sở GD&ĐT Bạc Liêu

Câu 1

4,0 điểm

a)
Cho tam giác $ABC$ có diện tích $S$ thỏa mãn đẳng thức $S = BC^{2} - (AC - AB)^{2}$ . Tính $\tan A$ .
b)
Giải phương trình: $(1 - \cos x)\cot x + \cos 2x + \sin x = \sin 2x$ .

4,0 điểm

Cho dãy số $(u_{n})$ biết:

\left\{ \begin{array}{l} u_{1} = 16 \\ u_{n+1} + 14 = \dfrac{15(n.u_{n} + 1)}{n + 1},\ n \in \mathbb{N}^{*} \end{array} \right.

Tìm $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \dfrac{n(u_{n} - 1) + 14^{n}}{2024 \cdot 15^{n}}$ .

4,0 điểm

Giải phương trình:

\log_{3}(x^{3} + 3x^{2} - 4x + 1) = \log_{9}(x^{2} - x + 1) - \log_{\frac{1}{3}}(x^{2} + 3).

4,0 điểm

a)
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a$ , $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA = 3a$ . Gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa cạnh $BC$ . Biết rằng hình đa giác tạo bởi giao tuyến của mặt phẳng $(P)$ với các mặt bên và mặt đáy của hình chóp $S.ABCD$ có diện tích bằng $\dfrac{5\sqrt{2}a^{2}}{6}$ . Tính khoảng cách giữa đường thẳng $AD$ và mặt phẳng $(P)$ .
b)
Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn và $AB < AC$ (tam giác $ABC$ không cân). Gọi $O, I$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp của tam giác $ABC$ . Đường phân giác trong $AD$ của góc $\widehat{BAC}$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm $E$ $(E \neq A)$ . Đường thẳng $d$ đi qua điểm $I$ và vuông góc với $AE$ cắt đường thẳng $BC$ tại điểm $K$ . Đường thẳng $KA, KE$ cắt đường tròn $(O)$ lần lượt tại các điểm $M, N$ $(M \neq A; N \neq E)$ . Đường thẳng $ND, NI$ cắt đường tròn $(O)$ lần lượt tại các điểm $P, Q$ $(P \neq N; Q \neq N)$ . Chứng minh rằng $EQ$ là đường trung trực của đoạn thẳng $MP$ .

4,0 điểm

a)
Một thùng đựng 27 viên bi được đánh số từ 1 đến 27, mỗi bi mang một số khác nhau. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi, tính xác suất để các số ghi trên bi lập thành một cấp số cộng.
b)
Tìm tất cả các hàm số $f: (0; +\infty) \to (0; +\infty)$ thỏa mãn các điều kiện sau đây:
$f(1) = \frac{1}{2} \text{ và } f(xy) = f(x) \cdot f\left(\frac{4}{y}\right) + f(y) \cdot f\left(\frac{4}{x}\right),\ \forall x, y \in (0; +\infty).$