Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường Toán 11 năm 2023–2024 — Trường THPT Lương Ngọc Quyến, Thái Nguyên

Câu 1

6,0 điểm

Giải các phương trình sau

a)
$\sqrt{3} \cos 2x - \sin 2x - 2 \cos x = 0;$
b)
$\dfrac{\cos 2x}{1 + \tan x} + \dfrac{1}{2}(\sin 2x + \sin x - 1) = 0.$

Câu 2

2,0 điểm

Biết $\lim_{x \to -\infty} \left( \sqrt{4x^2 + ax + 1} + bx \right) = -1$ . Tính giá trị biểu thức $P = a^2 - 3b^3$ .

Câu 3

4,0 điểm

Cho tập hợp $S = \{1;2;3;\ldots;39;40\}$ gồm 40 số tự nhiên từ 1 đến 40. Lấy ngẫu nhiên ba số thuộc tập $S$ . Tính xác suất để ba số lấy được lập thành cấp số cộng.

Câu 4

3,0 điểm

Dãy số $(u_n)$ được cho như sau:

\begin{cases} u_1 = \dfrac{3}{2} \\ (n+3)u_{n+1} = 3nu_n \end{cases}, n \in \mathbb{N}^*

Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số trên.

Câu 5

5,0 điểm

Cho tứ diện $ABCD$

1)
Gọi $E, F, G$ lần lượt là trọng tâm của tam giác $ABC, ACD, ABD$ .
1. a)
  Chứng minh $(EFG) // (BCD)$ .
2. b)
  Tính diện tích tam giác $EFG$ theo diện tích tam giác $BCD$ .
2)
Gọi $M$ là điểm thuộc miền trong của tam giác $BCD$ . Kẻ qua $M$ đường thẳng $d // AB$ .
1. a)
  Xác định giao điểm $B'$ của đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(ACD)$ .
2. b)
  Kẻ qua $M$ các đường thẳng lần lượt song song với $AC$ và $AD$ cắt các mặt phẳng $(ABD)$ và $(ABC)$ theo thứ tự tại $C', D'$ . Chứng minh rằng $\dfrac{MB'}{AB} + \dfrac{MC'}{AC} + \dfrac{MD'}{AD} = 1$ .