Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 11 năm 2024 — Trường THPT Yên Phong số 2, Bắc Ninh

Câu 1

4,0 điểm

Cho dãy số $(u_n)$ có số hạng tổng quát $u_n = -3n + 1$ , $\forall n \in \mathbb{N}^*$ .

a)
Chứng minh rằng $(u_n)$ là một cấp số cộng.
b)
Với mỗi số nguyên dương $n$ ta đặt $v_n = 2024^{u_n}$ . Chứng minh rằng dãy số $(v_n)$ là một cấp số nhân lùi vô hạn và tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn đó.

Câu 2

4,0 điểm

a)
Tìm nghiệm âm lớn nhất của phương trình $\tan\left(3x - \dfrac{\pi}{7}\right) = \sqrt{2} - 1$ .
b)
Biết rằng phương trình $a. \sin x + b. \cos x = c$ có nghiệm khi và chỉ khi $a^2 + b^2 \ge c^2$ . Vận dụng tính chất đó, hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

$y = \frac{1 - \sin x + 2\cos x}{3 + \sin x - \cos x}.$

Câu 3

4,0 điểm

a)
Tìm $m$ để hàm số sau đây liên tục tại điểm $x = 1$

$f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{x - 1} - \dfrac{3}{x^3 - 1} & \text{khi } x > 1, \\ |x^2 + m| & \text{khi } x \le 1. \end{cases}$
b)
Tính giới hạn $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + 16x} \cdot \sqrt[3]{1 - 27x} - 1}{x}$ .

Câu 4

2,0 điểm

Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương có 5 chữ số. Tính xác suất để chọn được số mà hai chữ số kề nhau luôn khác nhau.

Câu 5

2,0 điểm

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho parabol $(P): y = x^2 - 2x$ và đường tròn $(T): x^2 + y^2 - 4x - 2y = 0$ . Tính diện tích của đa giác lồi có các đỉnh là các điểm chung của $(P)$ và $(T)$ .

Câu 6

4,0 điểm

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ . Gọi $M$ là trung điểm của $SC$ , $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ , $K$ là giao điểm của đường thẳng $SD$ và mặt phẳng $(AGM)$ .

a)
Chứng minh đường thẳng $OM$ song song với mặt phẳng $(SAD)$ .
b)
Mặt phẳng $(P)$ chứa đường thẳng $MG$ và song song với đường thẳng $SB$ . Hãy xác định giao điểm $Q$ của đường thẳng $BC$ với mặt phẳng $(P)$ .
c)
Tính tỉ số $\dfrac{KS}{KD}$ .