Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 11 năm 2024–2025 — Sở GD&ĐT Tuyên Quang

Câu 1

4,0 điểm

Giải các phương trình và bất phương trình sau:

a)
$\sqrt{2x+5} = \sqrt{4x+8} - \sqrt{x-1}$ .
b)
$\left(\sqrt{3}+1\right)^{x} + 3\left(\sqrt{3}-1\right)^{x} < \left(\sqrt{2}\right)^{x+4}$ .

Câu 2

3,0 điểm

Cho dãy số $(u_{n})$ xác định bởi: $u_{1} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ và $u_{n+1} = \dfrac{1}{3}u_{n}^{2} + \dfrac{2}{3}$ , $\forall n \in \mathbb{N}^{*}$ .

Chứng minh rằng:

a)
$u_{n} < 1$ với mọi $n \in \mathbb{N}^{*}$ ;
b)
Dãy số $(u_{n})$ có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

Câu 3

5,0 điểm

Cho tam giác nhọn $ABC$ có $CA < CB$ và nội tiếp trong đường tròn $(O)$ . Gọi $R$ là điểm chính giữa cung nhỏ $\overparen{AB}$ ; $T$ và $S$ lần lượt là trung điểm của $CA$ , $CB$ . Đường trung trực của các cạnh $CA$ , $CB$ lần lượt cắt $CR$ tại $Q$ và $P$ .

1)
Chứng minh rằng:
1. a)
  $QT.CP = PS.CQ$ ;
2. b)
  Hai điểm $P$ và $Q$ đối xứng nhau qua đường trung trực của đoạn thẳng $CR$ .
2)
So sánh diện tích hai tam giác $RTQ$ và $RPS$ .

Câu 4

3,0 điểm

Cho đa giác đều $(H)$ có 30 đỉnh nội tiếp trong đường tròn $(O)$ .

a)
Có bao nhiêu đường chéo của đa giác $(H)$ không phải là đường kính của $(O)$ ?
b)
Tính số tam giác tù có ba đỉnh là ba đỉnh của đa giác $(H)$ .

Câu 5

3,0 điểm

Giả sử $\{x_{1}; x_{2}; \ldots; x_{78}\}$ là một hoán vị của tập $A = \{1976; 1977; \ldots; 2053\}$ .

a)
Tìm dư khi chia $a = x_{1}x_{2}\ldots x_{78}$ cho $79$ .
b)
Chứng minh rằng tồn tại $m, n \in \{1; 2; \ldots; 78\}$ , $m \neq n$ thỏa mãn: $mx_{m} - nx_{n}$ chia hết cho $79$ .

Câu 6

2,0 điểm

Cho đa thức $P(x)$ có hệ số hữu tỉ, bậc $5$ và $P\left(1+\sqrt[3]{3}\right) = 25$ . Chứng minh rằng tồn tại một tam thức bậc hai $Q(x)$ có hệ số hữu tỉ thỏa mãn

(P(-1)-25) \cdot (P(0)-25) \cdot (P(1)-25) + 132 \cdot Q(-1) \cdot Q(0) \cdot Q(1) = 0.