Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 10 năm 2024–2025 — Sở GD&ĐT Hà Nam

Thời gian: 180 phút
Số câu: 6 câu
Đáp án: Có đáp án

Câu I

4,0 điểm

1)
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho parabol $(P): y = x^2 - 2x$ , đường thẳng $(d): y = mx + 2m + 8$ và điểm $I(0;4)$ . Tìm tất cả các giá trị của $m$ để đường thẳng $(d)$ cắt parabol $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A, B$ sao cho tam giác $IAB$ cân tại $I$ .
2)
Một cái cổng hình parabol như hình vẽ. Chiều cao $GH = 4m$ , chiều rộng $AB = 4m$ , $AC = BD = 0,9m$ . Chủ nhà làm hai cánh cổng khi đóng lại là hình chữ nhật $CDEF$ tô đậm giá là 1.200.000 đồng/ $m^2$ , còn các phần để trắng làm xiên hoa có giá là 900.000 đồng/ $m^2$ . Biết diện tích của cái cổng là $\frac{32}{3}m^2$ . Hỏi tổng chi phí để làm hai phần nói trên là bao nhiêu đồng (kết quả làm tròn đến hàng nghìn).

Câu II

4,0 điểm

1)
Giải phương trình: $x + 3 - \dfrac{5x+7}{x^2+2x+3} = \sqrt{x^2+x+2}$ .
2)
Cho bất phương trình $\left(x^2+2x-m\right)^2-2x^2-5x-2+m \le 0$ . Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x \in [-1;0]$ .

Câu III

2,0 điểm

Một phân xưởng may áo vest và quần âu để chuẩn bị bán cho dịp cuối năm. Biết may một cái áo vest hết $2m$ vải và cần 20 giờ; 1 chiếc quần âu hết $1,5m$ vải và cần 5 giờ. Phân xưởng được giao sử dụng không quá $900m$ vải và số giờ công không vượt quá 6.000 giờ. Theo khảo sát thị trường, số lượng quần âu bán ra không nhỏ hơn số lượng áo vest và không vượt quá 2 lần số lượng áo vest. Khi bán ra thị trường, một cái áo vest lãi 250 nghìn đồng và một chiếc quần âu lãi 100 nghìn đồng. Hỏi phân xưởng muốn thu được tiền lãi cao nhất thì cần may bao nhiêu cái áo vest và bao nhiêu chiếc quần âu?

Câu IV

4,0 điểm

1)
Tìm số hạng chứa $x^6$ trong khai triển của $\left(1+2x-x^2-2x^3\right)^n$ , biết rằng $n$ là số tự nhiên thỏa mãn $3A_{n+2}^2 - C_n^3 = 86$ .
2)
Cho đa giác đều 30 đỉnh. Lấy 4 đỉnh trong các đỉnh của đa giác ta được một hình tứ giác. Hỏi có bao nhiêu tứ giác có đỉnh là đỉnh của đa giác đều trên sao cho 2 góc ở 2 đỉnh kề, chung một cạnh của tứ giác là 2 góc tù?

Câu V

4,0 điểm

1)
Cho hình thang $ABCD$ có đáy $AB$ và $CD$ ; $CD = 3AB$ . Gọi $M$ , $N$ lần lượt là các điểm thuộc các cạnh $AD$ và $BC$ sao cho $AM = 3MD$ ; $CN = 2NB$ . Gọi $P$ là giao điểm của $AC$ và $MN$ , $Q$ là giao điểm của $BD$ và $MN$ . Tính $\frac{PQ}{MN}$ .
2)
Bác Nam có một mảnh đất hình tứ giác $ABCD$ (như hình vẽ) với $AB = 8,2m$ ; $BC = 14,5m$ ; $CD = 9,7m$ ; $AD = 16,4m$ . Để tính diện tích mảnh đất, cháu của bác Nam lấy hai điểm $M, N$ nằm trên hai cạnh $AB, AD$ sao cho $AM = 1m$ ; $AN = 1m$ , sau đó bác Nam dùng thước dây đo được $MN = 1,6m$ . Em hãy tính diện tích mảnh đất (đơn vị $m^2$ và làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Câu VI

2,0 điểm

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $Oxy$ , cho hình vuông $ABCD$ có điểm $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ và $N$ là điểm thuộc đoạn thẳng $AC$ sao cho $AN = 3NC$ . Viết phương trình đường thẳng $CD$ , biết $M(1;2), N(2;-1)$ .

HẾT