Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 10 năm 2023–2024 — Trường THPT Đào Duy Từ, Thanh Hóa

Thời gian: 90 phút
Số câu: 35 câu
Đáp án: Có đáp án

Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn12,0 điểm

Câu 1

Tập xác định của hàm số $y = \dfrac{1}{(x-1)^2\sqrt{x}}$ là

A
$\displaystyle D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$
B
$\displaystyle D = (0; +\infty)$
C
$\displaystyle D = [0; +\infty) \setminus \{1\}$
D
$\displaystyle D = (0; +\infty) \setminus \{1\}$

Câu 2

Cho biết Parabol $y = ax^2 + bx + c$ có dạng đồ thị như hình vẽ. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau

A
$\displaystyle a < 0, b < 0, c > 0$
B
$\displaystyle a > 0, b > 0, c < 0$
C
$\displaystyle a < 0, b < 0, c < 0$
D
$\displaystyle a < 0, b > 0, c > 0$

Câu 3

Cho parabol $(P): y = ax^2 + bx + c$ $(a > 0)$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $-1$ . Biết có hai điểm $A(x_1; y_1), B(x_2; y_2)$ thuộc $(P)$ sao cho $AB$ đi qua $O(0;0), AB = \dfrac{3\sqrt{17}}{2}$ và $y_2 - y_1 = 4(x_2 - x_1)$ . Khi đó giá trị nhỏ nhất của $a$ bằng

A
$\displaystyle \dfrac{16}{9}$
B
$\displaystyle \dfrac{4}{3}$
C
$\displaystyle 2$
D
$\displaystyle \dfrac{3}{2}$

Câu 4

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in [-2024; 2024]$ để hàm số $f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 - 2x - m}}$ có tập xác định $\mathbb{R}$ .

A
$\displaystyle 2023$
B
$\displaystyle 2024$
C
$\displaystyle 2025$
D
$\displaystyle 2022$

Câu 5

Trong các mệnh đề dưới đây mệnh đề nào đúng?

A
$\displaystyle \forall x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 > 0$
B
$\displaystyle \forall x \in \mathbb{R}, x^2 > x$
C
$\displaystyle \exists r \in \mathbb{Q}, r^2 = 7$
D
$\forall n \in \mathbb{N}, n + 4$ chia hết cho $4$

Câu 6

Cho $A = (-\infty; 5)$ , $B = (-\infty; a)$ với $a$ là số thực. Tìm $a$ để $A \setminus B = \varnothing$

A
$\displaystyle a \ge 5$
B
$\displaystyle a \le 5$
C
$\displaystyle a = 5$
D
$\displaystyle a > 5$

Câu 7

Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

A
$\displaystyle x^2 - 2y + 1 > 0$
B
$\displaystyle x - 3y + 1 < 0$
C
$\displaystyle x + y^2 - 2 > 0$
D
$\displaystyle x + y + z - 2 < 0$

Câu 8

Miền nghiệm của hệ bất phương trình $\begin{cases} |x| \le 3 \\ |y - 2| \le 2 \end{cases}$

có diện tích bằng bao nhiêu?

A
$\displaystyle 36$
B
$\displaystyle 6$
C
$\displaystyle 12$
D
$\displaystyle 24$

Câu 9

Cho $\cos \alpha = \dfrac{3}{4}$ với $0^\circ < \alpha < 90^\circ$ . Giá trị biểu thức $A = \dfrac{\tan \alpha + 3\cot \alpha}{\tan \alpha + \cot \alpha}$ bằng:

A
$\displaystyle A = -\dfrac{17}{8}$
B
$\displaystyle A = \dfrac{17}{8}$
C
$\displaystyle A = \dfrac{1}{8}$
D
$\displaystyle A = \dfrac{7}{8}$

Câu 10

Cho tam giác $ABC$ có góc $A$ tù thỏa mãn $\sin A = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}$ và $AB = 2AC$ . Tỉ lệ $\dfrac{AC}{BC}$ bằng

A
$\displaystyle \frac{1}{3}$
B
$\displaystyle \frac{\sqrt{38}}{19}$
C
$\displaystyle \frac{\sqrt{57}}{19}$
D
$\displaystyle \frac{7}{18}$

Câu 11

Cho tam giác $ABC$ . Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB, AC, BC$ . Hỏi $\overrightarrow{MP} + \overrightarrow{NP}$ bằng véctơ nào?

A
$\displaystyle \overrightarrow{AM}$
B
$\displaystyle \overrightarrow{PB}$
C
$\displaystyle \overrightarrow{AP}$
D
$\displaystyle \overrightarrow{MN}$

Câu 12

Cho các véctơ $\vec{a}, \vec{b}$ có độ dài bằng $1$ và góc tạo bởi hai véc tơ bằng $30^\circ$ . Gọi $\vec{u} = \vec{a} + 2\vec{b}$ , $\vec{v} = \vec{a} - \vec{b}$ . Giá trị $\cos(\vec{u}; \vec{v})$ thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?

A
$\displaystyle (-0,08; -0,07)$
B
$\displaystyle (-0,1; -0,09)$
C
$\displaystyle (-0,2; -0,1)$
D
$\displaystyle (-0,09; -0,08)$

Câu 13

Cho tam giác $ABC$ biết $AB = 5, AC = 6, BC = 7$ . Gọi $M$ là trung điểm $BC$ và $N$ là điểm trên đoạn $AC$ sao cho $AN = x (0 < x < 6)$ . Hệ thức nào sau đây đúng?

A
$\displaystyle \overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \left(\frac{1}{2} - \frac{x}{6}\right)\overrightarrow{AC}$
B
$\displaystyle \overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BA} + \left(\frac{1}{2} + \frac{x}{6}\right)\overrightarrow{CA}$
C
$\displaystyle \overrightarrow{MN} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \left(\frac{1}{2} + \frac{x}{6}\right)\overrightarrow{AC}$
D
$\displaystyle \overrightarrow{MN} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \left(\frac{1}{2} - \frac{x}{6}\right)\overrightarrow{CA}$

Câu 14

Trong mặt phẳng $Oxy$ , cho đường tròn $(C): x^2 + y^2 - 2x - 2y - 1 = 0$ . Có bao nhiêu điểm $M$ có tọa độ là các số nguyên sao cho từ $M$ kẻ được hai tiếp tuyến $MA, MB$ với đường tròn $(C)$ ( $A, B$ là các tiếp điểm) thỏa mãn $AB \le \frac{\sqrt{210}}{5}$ .

A
$\displaystyle 28$
B
$\displaystyle 24$
C
$\displaystyle 20$
D
$\displaystyle 26$

Câu 15

Phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$ đi qua $A(3;2)$ và nhận $\vec{v} = (4;2)$ làm vectơ chỉ phương là:

A
$\displaystyle 3x - 2y + 4 = 0$
B
$\displaystyle 2x + y - 8 = 0$
C
$\displaystyle x - 2y - 7 = 0$
D
$\displaystyle x - 2y + 1 = 0$

Câu 16

Cho ba điểm $A(-6; 3), B(0; -1), C(3; 2)$ . Gọi điểm $M(a; b)$ trên đường thẳng $d: 2x - y + 3 = 0$ sao cho $\left|\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}\right|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tổng $a + b$ bằng

A
$\displaystyle \frac{3}{5}$
B
$\displaystyle \frac{4}{5}$
C
$\displaystyle 1$
D
$\displaystyle \frac{2}{5}$

Câu 17

Cho hai điểm $A(-1;3), B(1;1)$ . Gọi $(d)$ là đường thẳng có hệ số góc $k < -1$ và cắt đoạn thẳng $AB$ sao cho $d(A;d) + d(B,d) = \sqrt{2}$ . Giá trị $k$ thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?

A
$\displaystyle (-3,5; -3,1)$
B
$\displaystyle (-3,8; -3,5)$
C
$\displaystyle (-3,1; -2,5)$
D
$\displaystyle (-2,5; -1,5)$

Câu 18

Chọn ngẫu nhiên một số từ $100$ số nguyên dương đầu tiên, xác suất để số được chọn chia hết cho $4$ bằng

A
$\displaystyle \frac{1}{4}$
B
$\displaystyle \frac{13}{50}$
C
$\displaystyle \frac{6}{25}$
D
$\displaystyle \frac{3}{4}$

Câu 19

Từ các chữ số $0,1,2,3,4,5$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có $3$ chữ số?

A
$\displaystyle 120$
B
$\displaystyle 216$
C
$\displaystyle 100$
D
$\displaystyle 180$

Câu 20

Trong mặt phẳng tọa độ cho $3$ điểm $A, B, C$ không thẳng hàng. Từ $A$ ta dựng $5$ đường thẳng, từ $B$ ta dựng $8$ đường thẳng, từ $C$ ta dựng $7$ đường thẳng. Cho biết trong các đường thẳng này không có $3$ đường thẳng nào đồng quy và không có cặp đường thẳng nào song song. Số tam giác tạo thành bởi các giao điểm của các đường thẳng đã dựng trừ $3$ điểm $A, B, C$ bằng

A
$\displaystyle 366.145$
B
$\displaystyle 2.963.220$
C
$\displaystyle 390.145$
D
$\displaystyle 360.108$

Câu 21

Trên giá sách có $1$ cuốn sách toán, $3$ cuốn sách lý, $2$ cuốn sách hóa (các cuốn sách cùng môn đôi một khác nhau). Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra các cuốn sách trong các cuốn trên sao cho có đủ $3$ môn toán, lý, hóa?

A
$\displaystyle 21$
B
$\displaystyle 24$
C
$\displaystyle 10$
D
$\displaystyle 20$

Câu 22

Xếp ngẫu nhiên 3 học sinh lớp A, 2 học sinh lớp B và 1 học sinh lớp C vào sáu ghế xếp thành một hàng ngang (mỗi học sinh ngồi đúng một ghế). Tính xác suất để học sinh lớp C không ngồi cạnh học sinh lớp B.

A
$\displaystyle \frac{1}{5}$
B
$\displaystyle \frac{2}{5}$
C
$\displaystyle \frac{1}{30}$
D
$\displaystyle \frac{3}{5}$

Câu 23

Trong khai triển biểu thức $(2x+1)(x-1)^8$ thành đa thức, hệ số của $x^5$ bằng

A
$\displaystyle 140$
B
$\displaystyle 84$
C
$\displaystyle 56$
D
$\displaystyle 196$

Câu 24

Một hộp có 4 viên bi đỏ được đánh số từ 1 đến 4, 3 viên bi xanh được đánh số từ 1 đến 3 và 6 viên bi vàng được đánh số từ 1 đến 6. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi, xác suất để chọn được 3 viên bi vừa khác màu vừa khác số là

A
$\displaystyle \frac{9}{143}$
B
$\displaystyle \frac{36}{143}$
C
$\displaystyle \frac{16}{143}$
D
$\displaystyle \frac{18}{143}$

Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai5,0 điểm

Câu 25

Cho tam giác $ABC$ và các điểm $M, N$ thỏa mãn $\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MB}, \overrightarrow{NB}+3\overrightarrow{NC}=\vec{0}$ .

a)
Tổng $\frac{AM}{AB}+\frac{BN}{BC}$ bằng $\frac{17}{12}$
b)
$\overrightarrow{AN}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$ thì $x-y=\frac{1}{2}$
c)
Tồn tại $\alpha \in \mathbb{R}$ và điểm $K$ thuộc $AC$ thỏa mãn $\alpha \overrightarrow{AN}+\overrightarrow{BK}+\alpha \overrightarrow{CM}=\vec{0}$ ( $\alpha \in \mathbb{R}$ ) thì $\frac{AK}{KC}=\frac{3}{4}$
d)
Tam giác $ABC$ đều thì $\cos\left(\overrightarrow{AN},\overrightarrow{CM}\right)=\frac{-11}{\sqrt{91}}$

Câu 26

Cho hàm số $f(x)=\sqrt{(x-2m+1)(x-m)}$ có tập xác định $D$ .

a)
Với $m=0$ thì $D=(-1;0)$
b)
$(1;+\infty)\subset D$ khi và chỉ khi $m<1$
c)
Với mọi số thực $m$ thì $D\cap (-2;2)\neq \varnothing$
d)
Có 11 giá trị nguyên của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y=\left[f(x)\right]^2$ có đỉnh $I$ và cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt $A, B$ sao cho diện tích tam giác $IAB$ nhỏ hơn 27

Câu 27

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho các điểm $A(1;2), B(-3;4)$ .

a)
$AB=2\sqrt{5}$
b)
Đường thẳng $AB$ cắt trục $Ox$ tại điểm có hoành độ bằng 5
c)
Với điểm $M$ tùy ý, giá trị nhỏ nhất của $MA^2+2MB^2$ bằng $\frac{40}{3}$
d)
Điểm $M(a;b)$ di chuyển trong đoạn thẳng $AB$ . Tổng các khoảng cách từ $M$ đến hai trục tọa độ đạt giá trị nhỏ nhất thì $a+b=\frac{5}{2}$ .

Câu 28

Một nhóm 10 học sinh gồm 5 học sinh nam trong đó có đúng một bạn tên An và 5 học sinh nữ trong đó có đúng một bạn tên Bình được xếp ngồi ngẫu nhiên vào 10 cái ghế trên một hàng ngang.

a)
Số cách xếp 10 học sinh trên là $3.628.800$
b)
Xác suất để An và Bình ngồi hai đầu ghế là $\frac{1}{90}$
c)
Xác suất để 5 bạn nam ngồi kề nhau là $\frac{1}{42}$
d)
Xác suất để nam và nữ ngồi xen kẽ, đồng thời An không ngồi cạnh Bình là $\frac{8}{1575}$

Câu 29

Cho một đa giác đều $(H)$ có 18 cạnh.

a)
Số tam giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh của $(H)$ là 816
b)
Số tam giác cân có 3 đỉnh là 3 đỉnh của $(H)$ là 144
c)
Số hình chữ nhật có 4 đỉnh là đỉnh của $(H)$ là 36
d)
Chọn hai tam giác vuông có các đỉnh là đỉnh của $(H)$ , xác suất để chọn được hai tam giác vuông có cùng chu vi là $\frac{35}{143}$

Phần III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn3,0 điểm

Câu 30

Người ta dùng 100 số nguyên dương đầu tiên để đánh số cho 100 tấm thẻ (mỗi thẻ đánh một số). Chọn ngẫu nhiên bốn thẻ trong 100 thẻ đó. Tính xác suất để chọn được bốn thẻ sao cho tích của các số ghi trên bốn thẻ chia hết cho 9 (quy tròn đến phần trăm).

Trả lời:

Câu 31

Gọi $M, m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = |x^2 - 4x + a|$ trên đoạn $[1;3]$ . Tổng tất cả các giá trị của $a$ để $2M - 3m = 1$ bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Câu 32

Để tổ chức cho đoàn viên ưu tú khối 12 đi thực tế. Đoàn trường THPT Đào Duy Từ đã thuê xe để đưa 180 đoàn viên và 8 tấn hành lý đi thực tế. Nơi thuê xe có hai loại xe $A$ và $B$ , trong đó xe $A$ có 10 chiếc, xe $B$ có 9 chiếc. Một xe loại $A$ cho thuê với giá 5 triệu đồng và một xe loại $B$ cho thuê với giá 4 triệu đồng. Biết rằng mỗi xe loại $A$ có thể chở tối đa 30 người và 0,8 tấn hàng, mỗi xe loại $B$ có thể chở tối đa 20 người và 1,6 tấn hàng. Tìm tổng số xe cần thuê cả hai loại xe $A$ và $B$ sao cho chi phí thuê xe là thấp nhất.

Trả lời:

Câu 33

Cho tam giác đều $ABC$ cạnh bằng 1, điểm $M$ thỏa mãn $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA} = 1$ . Giá trị nhỏ nhất của đoạn $MA$ bằng bao nhiêu (làm tròn đến chữ số hàng phần trăm)?

Trả lời:

Câu 34

Một người có một miếng đất hình tam giác $ABC$ (hình vẽ dưới) với $AB = 10m, AC = 18m, BC = 25m$ . Ông ấy muốn chia miếng đất thành hai phần có diện tích bằng nhau cho hai người con của ông ta. Tuy nhiên vì phần đất phía $AB, AC$ là hai mặt đường nên người đó phải chia theo đoạn thẳng $MN$ (hình vẽ) để 2 người con đều có 2 phần mặt đường. Sau đó người cha phải xây đoạn tường $MN$ cao $2m$ để chia đất, chi phí để xây mỗi mét vuông tường hết 200.000 đồng. Số triệu đồng (làm tròn đến hàng phần trăm) chi phí ít nhất để xây đoạn tường $MN$ bằng bao nhiêu?

Hình vẽ tam giác $ABC$ với $AB=10m$, $AC=18m$, $BC=25m$ và đoạn thẳng $MN$ chia tam giác

Trả lời:

Câu 35

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$ , cho hình vuông $ABCD$ có $M$ là trung điểm cạnh $BC$ và điểm $N\left(-\frac{3}{2};\frac{1}{2}\right)$ thỏa mãn $\overrightarrow{AC} = 4\overrightarrow{AN}$ , đường thẳng $MD$ có phương trình $x = 1$ và tung độ điểm $D$ là một số âm. Biết $A(a;b), B(c;d)$ , tổng $a^2 + b^2 + c^2 + d^2$ bằng bao nhiêu?

Trả lời:

HẾT