Đề thi chọn đội tuyển thi HSG quốc gia môn Toán năm 2026 — Sở GD&ĐT Vĩnh Long

Câu 1

5,0 điểm

Cho dãy số $(u_n)$ được xác định bởi:

\left\{ \begin{array}{l} u_1 = \dfrac{1}{2} \\ u_{n+1} = \dfrac{\sqrt{u_n^2 + 4u_n} + u_n}{2} \quad (\forall n \in \mathbb{N}^*) \end{array} \right.

Đặt $v_n = \sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{u_i^2}$ $(\forall n \in \mathbb{N}^*)$ . Chứng minh rằng dãy số $(v_n)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Câu 2

5,0 điểm

a)
Giải phương trình $\sqrt{(x-3)(x+5)} + \sqrt{x-3} + \sqrt{x+5} = \dfrac{10-x}{2} + \sqrt{x+12}$ .
b)
Giải hệ phương trình
$\left\{ \begin{array}{l} x^3 - x^2y = x^2 - x + y + 1 \\ 5\sqrt{x+2} + \sqrt{y+3} = 3x^2 - y + 1 \end{array} \right.$

Câu 3

5,0 điểm

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$ cho parabol $(P): y^2 = 4x$ . Gọi $M$ là điểm di động trên $(P)$ , $T$ là điểm trên $(P)$ sao cho $OT \perp OM$ ( $M$ và $T$ đều không trùng với $O$ ). Chứng minh rằng khi $M$ di động trên $(P)$ thì đường thẳng $MT$ luôn đi qua một điểm cố định và đồng thời trung điểm của đoạn thẳng $MT$ luôn chạy trên một parabol cố định.

Câu 4

5,0 điểm

Cho bảng ô vuông kích thước $2\times 4$ gồm 8 ô vuông. Sử dụng 4 màu khác nhau để tô cho 8 ô sao cho mỗi ô chỉ được tô đúng một màu. Hỏi có bao nhiêu cách tô màu thỏa mãn trong các cặp ô vuông có chung cạnh, có đúng một cặp được tô cùng màu, còn tất cả các cặp chung cạnh khác đều được tô khác màu?

Bảng ô vuông kích thước 2x4 gồm 8 ô vuông