Đề thi chọn đội tuyển HSG Quốc gia môn Toán năm 2026 — Sở GD&ĐT Thanh Hóa

Với $n$ là số nguyên dương, xét các số thực dương $a_0, a_1, \ldots, a_n$ thỏa mãn các điều kiện: $a_0$ là một số nguyên, $\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{a_i} \le 1$ và $a_i \le a_{i-1} + 1$ với mọi $i \in \{1, 2, \ldots, n\}$.

Cho tam giác nhọn $ABC$ ($AB < AC$) nội tiếp đường tròn $(O)$, có tâm đường tròn nội tiếp là $I$. Đường thẳng vuông góc với $AI$ tại $I$ cắt $AB, AC$ lần lượt tại $E$ và $F$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ cắt đường tròn $(O)$ và đường thẳng $AI$ tương ứng tại $G, H$ ($G$ khác $A$).

Một điểm lưới là một điểm $(x; y)$ trên mặt phẳng tọa độ sao cho $x, y$ là các số nguyên dương không vượt quá 20. Ta nói điểm $B = (x'; y')$ nằm về phía Đông Bắc của điểm $A = (x; y)$ nếu $x' > x$ và $y' > y$. Ba điểm lưới $A, B, C$ được gọi là một bộ ba Đông Bắc nếu $B$ nằm về phía Đông Bắc của $A$ và $C$ nằm về phía Đông Bắc của $B$. Một tập hợp gồm 20 điểm lưới được gọi là Lam Sơn nếu mọi đường thẳng đi qua hai điểm trong tập hợp đều không song song với các trục tọa độ, đồng thời tập hợp chứa ít nhất một bộ ba Đông Bắc.