Đề thi chọn đội tuyển thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm 2026–2027 — Sở GD&ĐT Hưng Yên

Câu 1

5,0 điểm

Xét đa thức hệ số thực $P(x)$ thỏa mãn $P(1) = \sqrt{2}, P(-1) = -\sqrt{2}$ và

(P(x))^2 \leq x^6+1, \forall x \in \mathbb{R}.

a)
Chứng minh rằng đa thức $P(x)$ có nghiệm thực và có bậc nhỏ hơn 4.
b)
Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ thỏa mãn đề bài.

Câu 2

4,0 điểm

Cho dãy số nguyên $(u_n)$ được xác định bởi $u_1 = 3, u_2 = 7$ và

u_{n+2} = 3u_{n+1} - u_n, \forall n \geq 1.

Cho $N$ là hợp số lẻ không chia hết cho 3 và $u_N \equiv 3 (\bmod N)$ . Đặt $M = \dfrac{u_N}{3}$ .

a)
Chứng minh rằng $u_N$ chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9.
b)
Chứng minh rằng $M \equiv 1 (\bmod 4N)$ và $M$ là một hợp số.

Câu 3

6,0 điểm

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ . Lấy điểm $X$ cố định nằm trên cung $BC$ không chứa $A$ của $(O)$ . Một đường thẳng $d$ chuyển động qua $X$ . Các đường thẳng $d_A, d_B, d_C$ lần lượt đối xứng với $d$ qua $BC, CA, AB$ . Gọi $A'$ là giao điểm của $d_B$ và $d_C$ , $B'$ là giao điểm của $d_A$ và $d_C$ , $C'$ là giao điểm của $d_A$ và $d_B$ .

a)
Chứng minh rằng $AA', BB', CC'$ đồng quy tại một điểm nằm trên $(O)$ .
b)
Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp của tam giác $A'B'C'$ luôn đi qua một điểm cố định.

Câu 4

2,0 điểm

Cho số nguyên dương $n \geq 3$ và một số nguyên tố lẻ $p$ . Với mỗi $S$ là tập hợp gồm $n$ số nguyên dương phân biệt, ta ký hiệu $l_p(S)$ là số các lũy thừa cơ số $p$ có thể biểu diễn dưới dạng tổng của ba phần tử đôi một khác nhau thuộc $S$ . Hãy xác định giá trị lớn nhất có thể có của $l_p(S)$ theo $n, p$ .

Câu 5

3,0 điểm

Cho số nguyên dương $n$ . Hai bạn $A$ và $B$ cùng tham gia một trò chơi gồm $n$ lượt. Mỗi lượt, họ độc lập giải cùng một câu đố và kết quả là mỗi người chơi hoặc giải được hoặc không giải được. Đặt $c_A(i), c_B(i)$ lần lượt là tổng số câu đố mà $A, B$ giải được trong $i$ lượt đầu tiên. Hỏi có bao nhiêu kịch bản có thể xảy để $A$ đạt giải đặc biệt, nghĩa là sau khi kết thúc toàn bộ $n$ lượt chơi, $A$ không chỉ giải được nhiều câu đố hơn $B$ ( $c_A(n) > c_B(n)$ ), mà còn chưa bao giờ để $B$ bỏ xa quá một câu trong suốt quá trình ( $\forall i = 1,2,\ldots,n: c_B(n) - c_A(n) \leq 1$ )?