Đề thi chọn đội tuyển thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm 2026 — Sở GD&ĐT Ninh Bình

Câu 1

5,0 điểm

Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi

\begin{cases} x_1 = 1 \\ x_{n+1} = (n^2 + 1) \cdot x_1x_2 \ldots x_n, \forall n \in \mathbb{N}^*. \end{cases}

Với mỗi $n \in \mathbb{N}^*$ , đặt $y_n = \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} + \ldots + \dfrac{1}{x_n}.$

a)
Chứng minh rằng $x_n \geq 2^{n-1}, \forall n \in \mathbb{N}^*$ và dãy số $(y_n)$ có giới hạn hữu hạn.
b)
Chứng minh rằng $\lim_{n \to +\infty} y_n$ là một số vô tỉ.

Câu 2

5,0 điểm

Cho $n$ là một số nguyên dương lẻ. Xét các hàm $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn $f(x)f(y+x) = x^n f(f(y)) + (f(x))^2, \forall x, y \in \mathbb{R}$ (1).

a)
Giả sử $f$ không là hàm hằng. Chứng minh rằng:
1. i)
  $f(x) = 0$ khi và chỉ khi $x = 0$ .
2. ii)
  $f$ là một đơn ánh.
b)
Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn (1).

Câu 3

5,0 điểm

Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân, có đường cao $AH$ . Gọi $X, Y$ là hai điểm phân biệt thay đổi trên cạnh $BC$ sao cho $\widehat{CAX} = \widehat{BAY}$ ; $K, S$ tương ứng là hình chiếu vuông góc của $B$ lên $AX, AY$ ; $T, L$ tương ứng là hình chiếu vuông góc của $C$ lên $AX, AY$ .

a)
Chứng minh rằng ba đường thẳng $AH, TL, SK$ đồng quy.
b)
Chứng minh rằng giao điểm của $KL$ và $ST$ thuộc một đường thẳng cố định khi $X, Y$ thay đổi trên cạnh $BC$ .

Câu 4

5,0 điểm

Cho các số nguyên dương $m, n$ . Xét một bảng ô vuông kích thước $3m \times 6n$ (gồm $3m$ hàng và $6n$ cột). Trên bảng đó một số ô có màu trắng và các ô còn lại màu đỏ. Gọi $T$ là số bộ ba $(C_1, C_2, C_3)$ gồm các ô, trong đó hai ô đầu tiên nằm trên cùng một hàng và hai ô cuối cùng nằm trên cùng một cột, với $C_1$ và $C_3$ là ô trắng còn $C_2$ là ô đỏ. Tìm giá trị lớn nhất của $T$ .