Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi quốc gia Toán 12 năm 2026 — Sở GD&ĐT Hà Nội

Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_1 = \dfrac{1}{2}$ và $u_{n+1} = \dfrac{3-u_n^2}{2}$ với mọi số nguyên dương $n$.

Chứng minh $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Tìm tất cả các cặp số nguyên tố lẻ $(p,q)$, với $p < q$, thỏa mãn $p^{q^2} + (p+2)^{q^2}$ chia hết cho $q$ và $C_{3pq}^{pq}$ chia hết cho $pq$.

Cho số nguyên $n$ lớn hơn 3 và một đa giác đều $P$ có $2n$ đỉnh. Một tam giác được gọi là phủ đa giác $P$ nếu tất cả các đỉnh của $P$ đều nằm trong tam giác hoặc nằm trên cạnh của tam giác.

Tính số tam giác phủ đa giác $P$ tạo bởi ba đường thẳng chứa ba cạnh của đa giác $P$.

Cho tam giác $ABC$ ($AB < AC < BC$) nội tiếp đường tròn $(O)$. Ba đường cao $AA_1, BB_1, CC_1$ của tam giác $ABC$ cắt nhau tại trực tâm $H$.