Đề thi chọn đội tuyển HSG Toán 12 vòng 1 năm 2025–2026 — Trường THPT Bỉm Sơn, Thanh HóaMã đề 101

Thời gian: 90 phút
Số câu: 32 câu
Đáp án: Có đáp án

Phần 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn8,0 điểm

Câu 1

Trong trận thi đấu bóng bàn đơn nam giữa vận động viên Nguyễn Đức Tuân (người từng đoạt huy chương vàng đơn nam môn bóng bàn tại Seagames 31) với một vận động viên nước ngoài, trận đấu gồm tối đa 5 set (séc), người nào thắng trước 3 set sẽ giành chiến thắng chung cuộc. Xác suất để vận động viên Tuân thắng mỗi set là $0,6$ . Tính xác suất để vận động viên Tuân giành chiến thắng trong trận đấu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

A
$\displaystyle 0,21$
B
$\displaystyle 0,68$
C
$\displaystyle 0,47$
D
$\displaystyle 0,89$

Câu 2

Trong không gian $Oxyz$ , cho hình thang $ABCD$ vuông tại $A$ và $B$ , tọa độ ba đỉnh là $A(1;2;1)$ , $B(2;0;-1)$ , $C(6;1;0)$ , hình thang có diện tích bằng $6\sqrt{2}$ . Giả sử đỉnh $D(a;b;c)$ , khi đó $a+b-2c$ bằng

A
$\displaystyle 6$
B
$\displaystyle 4$
C
$\displaystyle 5$
D
$\displaystyle 2$

Câu 3

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định, liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như hình bên dưới.

Bảng biến thiên của hàm số f(x): Hàm số f đồng biến trên (−∞; 1) và (2; +∞), nghịch biến trên (1; 2), đạt cực đại tại x = 1 với f(1) = 3, đạt cực tiểu tại x = 2 với f(2) = 0.

Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \dfrac{1}{f(x^3 + x) + 3}$ là

A
$\displaystyle 3$
B
$\displaystyle 4$
C
$\displaystyle 2$
D
$\displaystyle 1$

Câu 4

Trong không gian $Oxyz$ , cho các vectơ $\vec{a} = (5;3;-2)$ và $\vec{b} = (m;-1;m+3)$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m \in [-2025;2025]$ để góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là góc tù?

A
$\displaystyle 2026$
B
$\displaystyle 2025$
C
$\displaystyle 2028$
D
$\displaystyle 2027$

Câu 5

Số nghiệm của phương trình $\cos 2x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ trên khoảng $(0;3\pi)$ là

A
$\displaystyle 3$
B
$\displaystyle 4$
C
$\displaystyle 6$
D
$\displaystyle 5$

Câu 6

Cho 4 điểm $A(1;2;-3)$ , $B(4;0;5)$ , $C(2;0;1)$ và $D(6;-2;11)$ . Gọi $M(x;y;z)$ là điểm sao cho $P = 2MA^2 - 3MB^2 - MC^2 + MD^2$ và $Q = x + 2y + 2z - 24$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính $-x + y + z$ .

A
$\displaystyle 8$
B
$\displaystyle 2$
C
$\displaystyle -3$
D
$\displaystyle 3$

Câu 7

Nhiệt độ ngoài trời ở một thành phố vào các thời điểm khác nhau trong ngày có thể được mô phỏng bởi công thức $h(t) = 29 + 3\sin\dfrac{\pi}{12}(t-9)$ với $h$ tính bằng độ C và $t$ là thời gian trong ngày tính bằng giờ. Nhiệt độ thấp nhất trong ngày là bao nhiêu độ C và vào lúc mấy giờ?

A
$26^{\circ}\text{C}$ , lúc $0$ giờ
B
$29^{\circ}\text{C}$ , lúc $9$ giờ
C
$32^{\circ}\text{C}$ , lúc $15$ giờ
D
$26^{\circ}\text{C}$ , lúc $3$ giờ

Câu 8

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Hai điểm $M$ , $N$ lần lượt thuộc các đoạn thẳng $AB$ và $AD$ ( $M$ và $N$ không trùng với $A$ ) sao cho $\dfrac{AB}{AM} + 2\dfrac{AD}{AN} = 4$ . Kí hiệu $V$ , $V_1$ lần lượt là thể tích của các khối chóp $S.ABCD$ và $S.MBCDN$ . Tìm giá trị lớn nhất của tỉ số $\dfrac{V_1}{V}$ .

A
$\displaystyle \frac{1}{6}$
B
$\displaystyle \frac{17}{14}$
C
$\displaystyle \frac{3}{4}$
D
$\displaystyle \frac{2}{3}$

Câu 9

Chị Hoa đầu tư số tiền bằng nhau vào hai lĩnh vực kinh doanh vàng và chứng khoán. Chị Hoa thống kê số tiền thu được mỗi tháng trong vòng 30 tháng theo mỗi lĩnh vực cho kết quả như sau:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Số tiền (triệu đồng)} & [3;5] & [5;7] & [7;9] & [9;11] & [11;13] \\ \hline \text{Số tháng đầu tư vào vàng} & 6 & 10 & 7 & 4 & 3 \\ \hline \text{Số tháng đầu tư vào chứng khoán} & 7 & 7 & 8 & 4 & 4 \\ \hline \end{array}

Chị Hoa đầu tư vào lĩnh vực nào rủi ro hơn?

A
Mức độ rủi ro như nhau
B
Vàng
C
Chứng khoán
D
Không so sánh được

Câu 10

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ . Giả sử 2 điểm $M,N$ thỏa mãn $\overrightarrow{AM} = x\overrightarrow{AC}$ , $\overrightarrow{DN} = y\overrightarrow{DC'}$ đồng thời $MN // BD'$ . Khi đó tỉ số $\frac{MN}{BD'} = \frac{m}{n}$ ( $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản). Tính $m+n$ .

A
$\displaystyle 4$
B
$\displaystyle 7$
C
$\displaystyle 3$
D
$\displaystyle 5$

Câu 11

Cho hàm số $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ có đồ thị như hình dưới.

Đồ thị hàm số $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$

Tổng $b+c+d$ bằng.

A
$\displaystyle 2$
B
$\displaystyle 3$
C
$\displaystyle 1$
D
$\displaystyle 4$

Câu 12

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định, có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và $f'(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới:

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A
Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng $(-2;0)$
B
Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng $(-\infty;-3)$
C
Hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(-3;-2)$
D
Hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(-2;+\infty)$

Câu 13

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật $AB = 6; AD = 4; SA = 6; SA \perp (ABCD)$ . Điểm $M \in BD; \overrightarrow{MB} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{MD}$ , điểm $N \in SC; \overrightarrow{NS} = -3.\overrightarrow{NC}$ . Độ dài đoạn thẳng $MN$ bằng

A
$\displaystyle \frac{\sqrt{310}}{6}$
B
$\displaystyle \frac{35}{4}$
C
$\displaystyle \frac{\sqrt{190}}{6}$
D
$\displaystyle \frac{15}{2}$

Câu 14

Cho $(u_n)$ là cấp số nhân, đặt $S_n = u_1 + u_2 + ... + u_n$ . Biết $S_2 = 4; S_3 = 13$ và $u_2 < 0$ , giá trị $S_5$ bằng

A
$\displaystyle \frac{181}{16}$
B
$\displaystyle \frac{35}{16}$
C
$\displaystyle 2$
D
$\displaystyle 121$

Câu 15

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của $m$ để bất phương trình $\frac{\log_3^2 x - 3\log_3 x + 2}{\sqrt{m - 2^x}} < 0$ có không quá $3$ nghiệm nguyên dương.

A
$\displaystyle 121$
B
$\displaystyle 128$
C
$\displaystyle 129$
D
$\displaystyle 120$

Câu 16

Cho hình lập phương $ABCD.A_1B_1C_1D_1$ . Gọi $O$ là tâm của hình lập phương. Chọn đẳng thức đúng?

A
$\displaystyle \overrightarrow{AO} = \frac{2}{3}\left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA_1}\right)$
B
$\displaystyle \overrightarrow{AO} = \frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA_1}\right)$
C
$\displaystyle \overrightarrow{AO} = \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA_1}\right)$
D
$\displaystyle \overrightarrow{AO} = \frac{1}{4}\left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA_1}\right)$

Câu 17

Tìm tất cả các giá trị nguyên của $a$ thuộc $(0;2025)$ để $\lim \sqrt{\frac{4^n + 2^{n+1}}{3^n + 4^{n+a}}} \le \frac{1}{16}$ .

A
$\displaystyle 2021$
B
$\displaystyle 2019$
C
$\displaystyle 2016$
D
$\displaystyle 2018$

Câu 18

Một hộp đựng $10$ thẻ được đánh số từ $1$ đến $10$ . Phải rút ra ít nhất $k$ thẻ để xác suất có ít nhất một thẻ ghi số chia hết cho $4$ lớn hơn $\frac{4}{5}$ . Giá trị của $k$ bằng

A
$\displaystyle 8$
B
$\displaystyle 7$
C
$\displaystyle 6$
D
$\displaystyle 9$

Câu 19

Cho mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian truy cập Internet mỗi buổi tối của một số học sinh như sau:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Thời gian (phút)} & [9,5;12,5) & [12,5;15,5) & [15,5;18,5) & [18,5;21,5) & [21,5;24,5) \\ \hline \text{Số học sinh} & 3 & 12 & 15 & 24 & 2 \\ \hline \end{array}

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên gần nhất với giá trị nào dưới đây?

A
$\displaystyle 19,37$
B
$\displaystyle 19,34$
C
$\displaystyle 19,35$
D
$\displaystyle 19,43$

Câu 20

Cho $a$ và $b$ là hai số thực dương thỏa mãn $a > b > 1$ và $\frac{1}{\log_b a} + \frac{1}{\log_a b} = \sqrt{2025}$ . Tính giá trị biểu thức $P = \frac{1}{\log_{ab} a} - \frac{1}{\log_{ab} b}$ .

A
$\displaystyle P = \sqrt{2026}$
B
$\displaystyle P = -\sqrt{2026}$
C
$\displaystyle P = -\sqrt{2021}$
D
$\displaystyle P = \sqrt{2021}$

Phần 2. Câu trắc nghiệm đúng sai7,2 điểm

Câu 1

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có diện tích đáy bằng $S_0$ , thể tích $V_0$ .

Để mô hình kim tự tháp có thể tích $V_0$ là lớn nhất, thì diện tích đáy $S_0$ bằng $3.216$ .

a)
Khi $S_0 = 2a^2, V_0 = \frac{2\sqrt{5}a^3}{3}$ thì chiều cao của hình chóp là $\frac{a\sqrt{5}}{3}$
b)
Khi $V_0 = \frac{a^3}{3}$ và $M$ là trung điểm của $SD$ thì thể tích khối chóp $M.ABC$ bằng trên là $\frac{a^3}{9}$
c)
Khi $S_0 = a^2, V_0 = \dfrac{a^3\sqrt{5}}{3}$ thì khoảng cách giữa $SA$ và $BD$ là $\dfrac{a\sqrt{55}}{11}$
d)
Cho tấm bìa hình vuông cạnh $50$ cm. Để làm một mô hình kim tự tháp Ai Cập, người ta cắt bỏ 4 tam giác cân bằng nhau có cạnh đáy chính là cạnh của hình vuông rồi gấp lên, ghép lại thành một hình chóp tứ giác đều có diện tích đáy bằng $S_0$ , thể tích là $V_0$ (tham khảo hình vẽ).

Câu 2

Một hộp chứa 50 quả cầu được đánh số từ 1 đến 50.

a)
Lấy ngẫu nhiên ba quả cầu từ hộp. Xác suất để số ghi trên 3 quả cầu lấy được lập thành một cấp số cộng bằng $\dfrac{3}{98}$ .
b)
Số cách lấy ra ba quả cầu từ hộp sao cho tổng số ghi trên ba quả cầu lấy được là một số lẻ là $7.500$
c)
Số cách lấy ra ba quả cầu từ hộp sao cho tổng số ghi trên ba quả cầu lấy được là số chia hết cho 3 là $6.544$
d)
Lấy ngẫu nhiên ba quả cầu từ hộp. Xác suất để tích 3 số ghi trên 3 quả cầu lấy được là một số chia hết cho 8 bằng $\dfrac{239}{392}$ .

Câu 3

Cho hàm số $f(x)=\dfrac{1}{3}x^3+bx^2+cx+d$ có đồ thị như hình vẽ.

Đồ thị hàm số $f(x)=\frac{1}{3}x^3+bx^2+cx+d$

a)
$bc > 0$
b)
Nếu $\max\limits_{[0;2]} f(x) =1$ thì $f(6)=43$
c)
Có 5 giá trị nguyên của tham số $m \in [-10;10]$ để hàm số $g(x)=f\left(x^2-2x+m\right)$ nghịch biến trên khoảng $(-1;0)$
d)
Với $d=1$ thì phương trình $\sqrt{f(f(x)+1)+3}=f(x)+3$ có 7 nghiệm phân biệt

Câu 4

Điểm thi môn Toán cuối học kì I của lớp 11A như sau:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Điểm thi} & [2;4) & [4;6) & [6;8) & [8;10) \\ \hline \text{Số học sinh} & 7 & 12 & 15 & 11 \\ \hline \end{array}

Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là 8
b)
Số trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là 7
c)
Trong bảng trên, thầy giáo muốn xác định nhóm gồm $50\%$ học sinh có điểm thi thấp nhất để phụ đạo thêm, khi đó thầy giáo sẽ chọn các học sinh có điểm từ 5 trở xuống vào nhóm này
d)
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) là $2,02$

Câu 5

Hàng ngày mực nước tại một cảng biển lên xuống theo thủy triều. Chiều cao $h(m)$ của mực nước theo thời gian $t$ (giờ) trong một ngày được cho bởi công thức $h=8+6\sin\left(\dfrac{\pi}{6}t\right)$ với $0 \le t \le 24$ .

a)
Có 2 thời điểm trong 1 ngày chiều cao của mực nước tại bến cảng là cao nhất
b)
Chiều cao của mực nước tại bến cảng thấp nhất vào lúc 12 giờ
c)
Có 3 thời điểm trong 1 ngày mực nước tại bến cảng cao $11m$
d)
Biết tàu chỉ vào được cảng khi mực nước trong cảng không thấp hơn $11m$ . Vậy thời gian tàu vào được cảng là từ 1 giờ đến 5 giờ.

Câu 6

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1;-2;2)$ và $B(2;2;1)$ .

a)
Hình chiếu của gốc tọa độ $O$ lên đường thẳng $AB$ là điểm có hoành độ dương
b)
Điểm $N(x_1;y_1;z_1)$ thuộc mặt phẳng $(Oxz)$ sao cho $N, A, B$ thẳng hàng thì $x_1+y_1+z_1=6$
c)
Gọi $K(a;b;c)$ là điểm thỏa mãn $OABK$ là hình thang cân có đáy lớn $KO$ gấp đôi đáy nhỏ $AB$ . Khi đó $a+b+c=8$
d)
Nếu $M$ là điểm nằm trên trục $Oz$ thì giá trị nhỏ nhất của $T=2MA^2-MB^2+\left|2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}\right|$ bằng $42$

Phần 3. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn4,8 điểm

Câu 1

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho hai điểm $A(1;2;3), B(7;10;6)$ . Hai điểm $M, N$ thay đổi trên mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $MN=4$ . Khi $AM+BN$ nhỏ nhất, tính hiệu hoành độ của $N$ và tung độ của $M$ .

Trả lời:

Câu 2

Cho các tia $Ox, Oy, Oz$ cố định đôi một vuông góc nhau. Trên các tia đó lần lượt lấy các điểm $A, B, C$ thay đổi nhưng luôn thỏa mãn $OA+OB+OC+AB+BC+CA=1$ trong đó $A, B, C$ không trùng với $O$ . Giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện $OABC$ bằng $\dfrac{1}{m\left(1+\sqrt{n}\right)^3}$ trong đó $m,n \in \mathbb{Z}$ . Giá trị của biểu thức $P=m+n$ bằng

Trả lời:

Câu 3

Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Bảng biến thiên của hàm số f(x): f′(x) < 0 trên (−∞; +∞). Hàm số f nghịch biến trên (−∞; +∞).

Biết $f(0)=1; f(2)=-2$ . Có bao nhiêu số nguyên $m$ để hàm số $y=\dfrac{(m+1)f(x)-30}{f(x)-m}$ nghịch biến trên khoảng $(0;2)$ ?

Trả lời:

Câu 4

Một bồn hoa hình tròn ở giữa sân trường được chia thành 6 phần bằng nhau và giao nhiệm vụ cho 6 lớp 10 chọn trồng một trong 4 loại hoa là hoa cúc, hoa hồng, hoa lan, hoa hướng dương theo các khu vực hình quạt được phân công cụ thể như hình vẽ.

Bồn hoa hình tròn được chia thành 6 phần bằng nhau cho các lớp 10A1 đến 10A6

Tính xác suất để hai lớp được phân công hai khu vực cạnh nhau thì không cùng trồng một loại hoa? (làm tròn đến hàng phần trăm)

Trả lời:

Câu 5

Giả sử số lượng tế bào của một quần thể nấm men tại môi trường nuôi cấy trong phòng thí nghiệm được mô hình hoá bằng hàm số $P(t)=\dfrac{a}{b+e^{-0,75t}}$ , trong đó thời gian $t$ được tính bằng giờ. Tại thời điểm ban đầu $t=0$ , quần thể có 20 tế bào và tăng với tốc độ 12 tế bào/giờ. Theo mô hình này số lượng tế bào của quần thể luôn thuộc nửa khoảng $[\alpha;\beta)$ . Khi đó $\alpha+\beta$ bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Câu 6

Xét các số thực $x, y$ thỏa mãn $2^{x^2+y^2+1} \le (x^2+y^2-2x+2) \cdot 4^x$ . Biết giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \dfrac{8x+4}{2x-y+1}$ bằng $a - \sqrt{b}$ $(a, b \in \mathbb{N})$ . Tính $ab$ .

Trả lời:

HẾT