Đề thi chọn đội tuyển thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm 2026 — Sở GD&ĐT Hà Tĩnh

Câu 1

5,0 điểm

Cho dãy số $(x_n)$ , với $x_1 = a > 1$ và $x_{n+1} = x_n - \ln x_n, \forall n \in \mathbb{N}^*$ .

a)
Chứng minh dãy $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.
b)
Đặt $S_n = \sum_{k=1}^{n-1}(n-k)\ln\sqrt{x_k}, \forall n = 2,3,\ldots$ . Tính $\lim_{n\to+\infty}\frac{S_n}{n}$ .

Câu 2

5,0 điểm

Xét đa thức $P(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0$ với các hệ số nguyên, $n$ là số nguyên dương thay đổi thỏa mãn $n \ge 4, a_n \ne 0$ . Biết rằng đa thức $P(x)$ chia hết cho đa thức $x^2 - 2x - 1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của $\max\{|a_0|, |a_1|, \ldots, |a_{n-1}|\}$ .

Câu 3

5,0 điểm

Cho đường tròn $(O)$ và $BC$ là một dây cung không đi qua tâm. Điểm $M$ thuộc đường tròn $(O)$ sao cho tam giác $MBC$ nhọn. Tiếp tuyến tại $M$ và $B$ của $(O)$ cắt nhau ở $D$ . Đường thẳng $CD$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai là $E$ . Lấy điểm $F$ thuộc đoạn thẳng $CE$ sao cho $\widehat{CMF} = \widehat{BCD}$ . Gọi $I$ là giao điểm thứ hai của $MF$ và đường tròn $(BCF)$ , $J$ là giao điểm thứ hai của $BF$ và đường tròn $(MCF)$ .

a)
Chứng minh $I, J, O, F$ cùng thuộc một đường tròn.
b)
Gọi $P$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $MBD$ . Chứng minh $IJ \perp CP$ .

Câu 4

5,0 điểm

Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $\frac{10^n}{n^3 + n^2 + n + 1}$ là một số nguyên.