Đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi Toán 8 năm 2024–2025 — Phòng GD&ĐT Kiến Xương, Thái Bình

Câu 1

4,0 điểm

Cho biểu thức

P = \left[ \frac{(x - 1)^2}{x^2 + x + 1} - \frac{1 - 2x^2 + 4x}{x^3 - 1} + \frac{1}{x - 1} \right] : \frac{x^2 + x}{x^3 + 8x} \text{ với } x \neq 0; x \neq \pm 1

4,5 điểm

1)
Tính giá trị của biểu thức:
$A = (x + y - 5)^2 + (x + y - 5)(8 - 2x) + (4 - x)^2 \text{ tại } y = 10^{2025} + 1.$
2)
Cho x, y là các số thực thỏa mãn: $x + y = 1$ .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $B = (x^2 + 4y)(y^2 + 4x) + 20xy$ .
3)
Tìm đa thức $f(x)$ biết đa thức $f(x)$ chia cho $(x - 2)$ dư 5; $f(x)$ chia cho $(x - 3)$ dư 7 và $f(x)$ chia cho $(x - 2)(x - 3)$ được thương là $x^2 - 1$ và còn dư.

4,5 điểm

6,0 điểm

Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao BD, CE cắt nhau tại H. Kẻ EK vuông góc với AC tại K, DI vuông góc với EC tại I. Chứng minh:

1)
$CH \cdot CE = CD \cdot CA$
2)
IK vuông góc với BC.
3)
Tam giác EIK đồng dạng tam giác ABC và $S_{\Delta EIK} \le \dfrac{1}{4} S_{\Delta ABC}$

1,0 điểm

Cho 2 số nguyên dương a, b thỏa mãn: $a + b + 1$ là một ước nguyên tố của $2(a^2 + b^2) - 1$ . Chứng minh rằng $a \cdot b$ là một số chính phương.

HẾT