Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi quốc gia môn Toán năm 2026 — Sở GD&ĐT Quảng Ngãi

Câu 1

6,0 điểm

Với mỗi số nguyên dương $n \ge 2$ , xét phương trình

\frac{1}{x+1}+\frac{1}{2(x+2)}+\cdots+\frac{1}{n(x+n)}=1.

a)
Chứng minh phương trình trên luôn có một nghiệm dương duy nhất $x_n$ với mỗi $n \ge 2$ .
b)
Đặt $y_n=n^{\frac{1}{2026}}(1-x_n), \forall n \ge 2$ . Tính $\lim y_n$ .

Câu 2

7,0 điểm

Một số nguyên dương $n>1$ được gọi là "đẹp" nếu tồn tại các số nguyên dương đôi một phân biệt $d_1, d_2, \ldots, d_k$ (với $k \ge 2$ ) sao cho $n=d_1d_2\ldots d_k$ và $d_i^2 \mid (n+3d_i), \forall i=\overline{1,k}$ . Gọi $S$ là tập hợp tất cả các số nguyên dương "đẹp".

a)
Giả sử $n \in S$ là số chính phương không chia hết cho 3, $n=d_1d_2\ldots d_k$ và $d_i^2 \mid (n+3d_i), \forall i=\overline{1,k}$ . Chứng minh các số $d_i$ $(i=1, 2, \ldots, k)$ đôi một nguyên tố cùng nhau và là các số chính phương.
b)
Chứng minh tập hợp $S$ có vô hạn phần tử.

Câu 3

7,0 điểm

Cho hình bình hành $ABCD$ có góc $A$ nhọn, hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $O$ . Đường tròn $(I)$ nội tiếp tam giác $OBC$ tiếp xúc với $BC$ tại $E$ .

a)
Giả sử tam giác $ADE$ nhọn. Gọi $O_1, O_2, O_3$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp của các tam giác $ABE, ADE, CDE$ . Chứng minh trực tâm của tam giác $O_1O_2O_3$ nằm trên $AD$ .
b)
Lấy điểm $S$ khác $O$ sao cho $SA$ và $SD$ cùng tiếp xúc với $(I)$ . Gọi $K$ là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác $SAD$ . Chứng minh $OK$ đi qua trung điểm của $AD$ .