Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi quốc gia môn Toán năm 2026 — Sở GD&ĐT Đà Nẵng

Câu 1

5,0 điểm

Cho dãy số thực dương $(a_n)$ thỏa mãn điều kiện $a_n(a_{n+1}^2-1)=a_{n+1}(a_n^2+1), \forall n \in \mathbb{N}^*$ .

a)
Chứng minh $\lim a_n = +\infty$ .
b)
Tính $\lim \frac{1}{\sqrt{n}}\left(\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{a_i}\right)$ .

Câu 2

5,0 điểm

Xét hàm số $f: \mathbb{N}^* \to \mathbb{N}^*$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau với mọi số nguyên dương $m,n,a$ :

(i) $f(f(m)f(n))=mn$ ;

(ii) $f(2027a+1)=2027a+1$ .

(Cho biết 2027 là một số nguyên tố)

a)
Tính $f(1)$ .
b)
Tìm tất cả hàm số $f$ thỏa mãn điều kiện bài toán.

Câu 3

5,0 điểm

Xét phương trình

\varphi(\varphi(n)+k)=n-k \text{ với } n, k \text{ nguyên dương.}

(Với $m$ nguyên dương, ký hiệu $\varphi(m)$ là số các số nguyên dương không vượt quá $m$ và nguyên tố cùng nhau với $m$ )

a)
Chứng minh với mỗi số nguyên dương $k$ cố định, chỉ có hữu hạn số $n$ là hợp số thỏa mãn phương trình.
b)
Tìm tất cả các số nguyên dương $k$ sao cho phương trình có vô số nghiệm nguyên dương $n$ .

Câu 4

5,0 điểm

Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân $(AB < AC)$ nội tiếp đường tròn $(O)$ . Dựng hai đường kính $AA'$ , $BB'$ của đường tròn $(O)$ và điểm $D$ sao cho $A'CB'D$ là hình bình hành. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$ , $E$ là giao điểm của $BD$ và $AC$ , $F$ là giao điểm của $CD$ và $AB$ . Gọi $H_1, H_2$ lần lượt là trực tâm của hai tam giác $BEC$ và $BFC$ .

a)
Chứng minh hai tam giác $ABC$ và $MH_1H_2$ có cùng trực tâm.
b)
Đường thẳng $BC$ cắt hai đường thẳng $A'D$ , $H_1H_2$ lần lượt tại $K, T$ . Gọi $S, G, I$ lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng $(MH_2, KH_1)$ , $(KH_2, MH_1)$ và $(SG, H_1H_2)$ . Gọi $X$ là hình chiếu vuông góc của $G$ lên $ST$ . Chứng minh bốn điểm $S, X, I$ và trung điểm của đoạn thẳng $H_1H_2$ cùng nằm trên một đường tròn.