Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi quốc gia môn Toán năm 2025 — Sở GD&ĐT Cần Thơ

Câu 1

3,0 điểm

Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^2 + b^2 + c^2 = 1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = \frac{a^2}{1 + 2bc} + \frac{b^2}{1 + 2ac} + \frac{c^2}{1 + 2ab}.

Câu 2

3,0 điểm

Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi

\left\{ \begin{array}{l} u_1 = \dfrac{1}{2} \\ u_{n+1} = \sqrt{\dfrac{1 + u_n}{2}}, \forall n \in \mathbb{N}^*. \end{array} \right.

a)
Chứng minh rằng dãy số $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.
b)
Tính giá trị của tích vô hạn $P = \prod_{n=1}^{\infty} u_n = u_1.u_2.u_3\ldots$

Câu 3

3,0 điểm

Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

i) $f(0) \neq -1$ .

ii) $f(x^2 + 2f(y)) = 2y + f^2(x), \forall x, y \in \mathbb{R}$ .

Câu 4

3,0 điểm

Với mỗi số nguyên dương $n$ , đặt $u_n = (4 - \sqrt{15})^n + (4 + \sqrt{15})^n$ . Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ thì $u_n$ chia hết cho $2$ và $A = u_1^2 + u_2^2 + \ldots + u_{2025}^2$ chia hết cho $8$ .

Câu 5

3,0 điểm

Cho $21$ ô vuông được xếp thành một hàng dọc liên tiếp nhau. Người ta tô một trong hai màu đen hoặc trắng cho mỗi ô vuông sao cho:

i) Không tô đen $2$ ô liên tiếp nhau.

ii) Không tô trắng quá $2$ ô liên tiếp nhau.

Hỏi có bao nhiêu cách tô màu thỏa mãn đồng thời các điều kiện trên?

Câu 6

5,0 điểm

Cho tam giác $ABC$ không cân. Đường tròn tâm $I$ nội tiếp tam giác $ABC$ , tiếp xúc với cạnh $BC$ tại $D$ . Đường thẳng đi qua $D$ vuông góc $IA$ , cắt $IB, IC$ lần lượt tại $P, Q$ .

a)
Chứng minh các điểm $B, P, C, Q$ cùng thuộc một đường tròn $(\omega)$ .
b)
Gọi $K$ là tâm đường tròn $(\omega)$ . Chứng minh ba điểm $K, A, D$ thẳng hàng.