Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi quốc gia môn Toán năm 2025 — Sở GD&ĐT Cần Thơ

Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^2 + b^2 + c^2 = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi

Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

i) $f(0) \neq -1$.

ii) $f(x^2 + 2f(y)) = 2y + f^2(x), \forall x, y \in \mathbb{R}$.

Với mỗi số nguyên dương $n$, đặt $u_n = (4 - \sqrt{15})^n + (4 + \sqrt{15})^n$. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ thì $u_n$ chia hết cho $2$ và $A = u_1^2 + u_2^2 + \ldots + u_{2025}^2$ chia hết cho $8$.

Cho $21$ ô vuông được xếp thành một hàng dọc liên tiếp nhau. Người ta tô một trong hai màu đen hoặc trắng cho mỗi ô vuông sao cho:

i) Không tô đen $2$ ô liên tiếp nhau.

ii) Không tô trắng quá $2$ ô liên tiếp nhau.

Hỏi có bao nhiêu cách tô màu thỏa mãn đồng thời các điều kiện trên?

Cho tam giác $ABC$ không cân. Đường tròn tâm $I$ nội tiếp tam giác $ABC$, tiếp xúc với cạnh $BC$ tại $D$. Đường thẳng đi qua $D$ vuông góc $IA$, cắt $IB, IC$ lần lượt tại $P, Q$.