Đề thi chính thức tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2024 — Bộ GD&ĐT

Câu 1

Cho số phức $z$ có $\bar{z} = -5 + 6i$ . Phần ảo của $z$ bằng

A
$\displaystyle -5$
B
$\displaystyle -6$
C
$\displaystyle 5$
D
$\displaystyle 6$

Câu 2

Khẳng định nào dưới đây đúng?

A
$\displaystyle \int (2x + 3) \mathrm{d}x = \frac{1}{2}x^2 + 3x + C$
B
$\displaystyle \int (2x + 3) \mathrm{d}x = x^2 + C$
C
$\displaystyle \int (2x + 3) \mathrm{d}x = 2x^2 + 3x + C$
D
$\displaystyle \int (2x + 3) \mathrm{d}x = x^2 + 3x + C$

Câu 3

Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $d: \frac{x+1}{1} = \frac{y-2}{-1} = \frac{z}{-3}$ . Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của $d$ ?

A
$\displaystyle \overrightarrow{u_1} = (1; 2; 0)$
B
$\displaystyle \overrightarrow{u_2} = (-1; 2; 0)$
C
$\displaystyle \overrightarrow{u_3} = (1; -1; -3)$
D
$\displaystyle \overrightarrow{u_4} = (1; 1; 3)$

Câu 4

Cho hình trụ có diện tích xung quanh $S_{xq} = 36\pi$ và chiều cao $h = 6$ . Bán kính của hình trụ đã cho bằng

A
$\displaystyle 6$
B
$\displaystyle 9$
C
$\displaystyle 3$
D
$\displaystyle 12$

Câu 5

Dãy số nào dưới đây là một cấp số cộng?

A
$\displaystyle 1, 3, 5, 7$
B
$\displaystyle 1, 0, 2, 4$
C
$\displaystyle 1, 3, 5, 10$
D
$\displaystyle 1, 2, 3, -4$

Câu 6

Với $a, b$ là các số thực dương tùy ý và $a \neq 1$ , $\log_{a^2} b^2$ bằng

A
$\displaystyle \log_a b$
B
$\displaystyle \log_{a^4} b$
C
$\displaystyle (\log_a b)^2$
D
$\displaystyle \log_a b^4$

Câu 7

Cho hàm số bậc bốn $y = f(x)$ có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số nghiệm thực của phương trình $f(x) = \frac{3}{2}$ là

A
$\displaystyle 3$
B
$\displaystyle 4$
C
$\displaystyle 0$
D
$\displaystyle 2$

Câu 8

Cho khối lăng trụ tam giác có diện tích đáy $B = 6$ và chiều cao $h = 3$ . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

A
$\displaystyle 24$
B
$\displaystyle 6$
C
$\displaystyle 12$
D
$\displaystyle 18$

Câu 9

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và $f(1) = 3$ , $f(2) = 1$ . Giá trị của $\int_{1}^{2} f'(x) \mathrm{d}x$ bằng

A
$\displaystyle 4$
B
$\displaystyle 2$
C
$\displaystyle -2$
D
$\displaystyle -4$

Câu 10

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{4x - 1}{3x + 2}$ có phương trình là

A
$\displaystyle x = -\frac{2}{3}$
B
$\displaystyle x = \frac{4}{3}$
C
$\displaystyle y = \frac{4}{3}$
D
$\displaystyle y = -\frac{2}{3}$

Câu 11

Số phức $z = i + i^2 + i^3$ bằng

A
$\displaystyle -1$
B
$\displaystyle -1 + 2i$
C
$\displaystyle 1$
D
$\displaystyle i$

Câu 12

Trên khoảng $(-\infty; +\infty)$ , hàm số $F(x) = \dfrac{1}{2} \sin 2x$ là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?

A
$\displaystyle f_3(x) = -\dfrac{1}{2} \cos 2x$
B
$\displaystyle f_4(x) = -\dfrac{1}{4} \cos 2x$
C
$\displaystyle f_2(x) = \cos 2x$
D
$\displaystyle f_1(x) = -\cos 2x$

Câu 13

Nếu $\displaystyle\int_{-2}^{1} f(x) \mathrm{d}x = -1$ và $\displaystyle\int_{1}^{7} f(x) \mathrm{d}x = -5$ thì $\displaystyle\int_{-2}^{7} f(x) \mathrm{d}x$ bằng

A
$\displaystyle -4$
B
$\displaystyle 5$
C
$\displaystyle -6$
D
$\displaystyle 4$

Câu 14

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Bảng biến thiên của hàm số f(x): f′(x) < 0 trên (−∞; −1); f′(x) = 0 tại x = −1; f′(x) > 0 trên (−1; 2); f′(x) = 0 tại x = 2; f′(x) < 0 trên (2; +∞). Hàm số f nghịch biến trên (−∞; −1) và (2; +∞), đồng biến trên (−1; 2), đạt cực tiểu tại x = −1 với f(−1) = −2, đạt cực đại tại x = 2 với f(2) = 1.

Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là

A
$\displaystyle x = 2$
B
$\displaystyle x = -1$
C
$\displaystyle x = 1$
D
$\displaystyle x = -2$

Câu 15

Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{\frac{1}{2}}(x + 2) > -1$ là

A
$\displaystyle (-2; 1)$
B
$\displaystyle (0; +\infty)$
C
$\displaystyle (-2; 0)$
D
$\displaystyle (-\infty; 0)$

Câu 16

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?

A
$\displaystyle y = -x^3 + 3x^2 + 3$
B
$\displaystyle y = x^4 - 2x^2 - 4$
C
$\displaystyle y = \dfrac{x - 2}{2x + 1}$
D
$\displaystyle y = x^3 + 3x^2 - 1$

Câu 17

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1; -2; 3)$ và $B(3; 0; 1)$ . Gọi $(S)$ là mặt cầu nhận $AB$ làm đường kính, tâm của $(S)$ có tọa độ là

A
$\displaystyle (2; -1; 2)$
B
$\displaystyle (-1; -1; 1)$
C
$\displaystyle (4; -2; 4)$
D
$\displaystyle (1; 1; -1)$

Câu 18

Nghiệm của phương trình $2^{2x} = 2^{x+6}$ là

A
$\displaystyle x = -6$
B
$\displaystyle x = 2$
C
$\displaystyle x = 6$
D
$\displaystyle x = -2$

Câu 19

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = 2x + 4, \forall x \in \mathbb{R}$ . Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A
$\displaystyle (-\infty; -2)$
B
$\displaystyle (2; 4)$
C
$\displaystyle (-2; +\infty)$
D
$\displaystyle (2; +\infty)$

Câu 20

Hàm số nào dưới đây là hàm số mũ?

A
$\displaystyle y = x^{2024}$
B
$\displaystyle y = 2024^x$
C
$\displaystyle y = \log_3 x$
D
$\displaystyle y = x^{-4}$

Câu 21

Trên khoảng $(0; +\infty)$ , đạo hàm của hàm số $y = x^{\frac{1}{7}}$ là

A
$\displaystyle y' = \dfrac{1}{7} x^{-\frac{6}{7}}$
B
$\displaystyle y' = \dfrac{1}{7} x^{\frac{6}{7}}$
C
$\displaystyle y' = x^{-\frac{6}{7}}$
D
$\displaystyle y' = \dfrac{7}{8} x^{\frac{8}{7}}$

Câu 22

Cho hình nón có bán kính đáy $r = 3$ và độ dài đường sinh $l = 5$ . Chiều cao của hình nón đã cho bằng

A
$\displaystyle 4$
B
$\displaystyle 5$
C
$\displaystyle \sqrt{34}$
D
$\displaystyle 2$

Câu 23

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Bảng biến thiên của hàm số f(x): f′(x) < 0 trên (−∞; −2); f′(x) = 0 tại x = −2; f′(x) > 0 trên (−2; 0); f′(x) = 0 tại x = 0; f′(x) < 0 trên (0; 2); f′(x) = 0 tại x = 2; f′(x) > 0 trên (2; +∞). Hàm số f nghịch biến trên (−∞; −2) và (0; 2), đồng biến trên (−2; 0) và (2; +∞), đạt cực tiểu tại x = −2 với f(−2) = −3, đạt cực đại tại x = 0 với f(0) = 0, đạt cực tiểu tại x = 2 với f(2) = −3.

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A
$\displaystyle 3$
B
$\displaystyle 2$
C
$\displaystyle 4$
D
$\displaystyle 1$

Câu 24

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai vectơ $\vec{a} = (2;3;-1)$ và $\vec{b} = (-3;2;-4)$ . Vectơ $\vec{a} + \vec{b}$ có tọa độ là

A
$\displaystyle (-1;-5;5)$
B
$\displaystyle (-5;-1;-3)$
C
$\displaystyle (-1;5;-5)$
D
$\displaystyle (1;-5;5)$

Câu 25

Trong không gian $Oxyz$ , mặt phẳng đi qua điểm $M(3;4;-2)$ và vuông góc với trục $Oz$ có phương trình là

A
$\displaystyle y - 4 = 0$
B
$\displaystyle z + 2 = 0$
C
$\displaystyle x + y + z - 5 = 0$
D
$\displaystyle x - 3 = 0$

Câu 26

Cho khối chóp tứ giác có thể tích $V = 3a^3$ và diện tích đáy $B = a^2$ . Chiều cao của khối chóp đã cho bằng

A
$\displaystyle a$
B
$\displaystyle 6a$
C
$\displaystyle 3a$
D
$\displaystyle 9a$

Câu 27

Có bao nhiêu cách sắp xếp 6 người thành một hàng ngang?

A
$\displaystyle 36$
B
$\displaystyle 720$
C
$\displaystyle 1$
D
$\displaystyle 6$

Câu 28

Trên mặt phẳng tọa độ, $M(2;-5)$ là điểm biểu diễn của số phức $z$ . Phần thực của $z$ bằng

A
$\displaystyle -5$
B
$\displaystyle -2$
C
$\displaystyle 2$
D
$\displaystyle 5$

Câu 29

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$ , cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA = \sqrt{2}a$ . Khoảng cách từ $C$ đến mặt phẳng $(SBD)$ bằng

A
$\displaystyle \dfrac{2\sqrt{10}}{5}a$
B
$\displaystyle \dfrac{\sqrt{6}}{3}a$
C
$\displaystyle \dfrac{\sqrt{10}}{10}a$
D
$\displaystyle \dfrac{\sqrt{10}}{5}a$

Câu 30

Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $A(1;2;-1)$ và mặt phẳng $(P): 2x - z + 1 = 0$ . Đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $(P)$ có phương trình là

A
$\displaystyle \begin{cases} x = 2 + t \\ y = 2t \\ z = -1 - t \end{cases}$
B
$\displaystyle \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 2 - t \\ z = -1 + t \end{cases}$
C
$\displaystyle \begin{cases} x = -1 + 2t \\ y = -2 \\ z = 1 - t \end{cases}$
D
$\displaystyle \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 2 \\ z = -1 - t \end{cases}$

Câu 31

Cho số phức $z = 3 + 4i$ . Môđun của số phức $iz$ bằng

A
$\displaystyle 7$
B
$\displaystyle 49$
C
$\displaystyle 25$
D
$\displaystyle 5$

Câu 32

Trên hai tia $Ox$ , $Oy$ của góc nhọn $xOy$ lần lượt cho 5 điểm và 6 điểm phân biệt khác $O$ . Chọn ngẫu nhiên 3 điểm từ 12 điểm (gồm điểm $O$ và 11 điểm đã cho), xác suất để 3 điểm chọn được là ba đỉnh của một tam giác bằng

A
$\displaystyle \dfrac{19}{22}$
B
$\displaystyle \dfrac{27}{44}$
C
$\displaystyle \dfrac{3}{4}$
D
$\displaystyle \dfrac{39}{44}$

Câu 33

Một ô tô đang chuyển động với vận tốc $20$ m/s thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động thẳng, chậm dần đều với vận tốc biến thiên theo thời gian được xác định bởi quy luật $v(t) = -4t + 20$ (m/s) trong đó $t$ là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc người lái xe bắt đầu đạp phanh. Quãng đường ô tô đi được từ lúc người lái xe bắt đầu đạp phanh đến khi xe dừng hẳn bằng

A
$32$ m
B
$50$ m
C
$48$ m
D
$30$ m

Câu 34

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1;2;3)$ và $B(3;2;5)$ . Gọi $M$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{MB} = 3\overrightarrow{MA}$ , độ dài của vectơ $\overrightarrow{OM}$ bằng

A
$\displaystyle \dfrac{\sqrt{74}}{2}$
B
$\displaystyle 2\sqrt{2}$
C
$\displaystyle 8$
D
$\displaystyle 2\sqrt{14}$

Câu 35

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông cân tại $A$ , $BC = 2a$ , cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA = \sqrt{3}a$ . Góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ bằng

A
$\displaystyle 60^{\circ}$
B
$\displaystyle 90^{\circ}$
C
$\displaystyle 30^{\circ}$
D
$\displaystyle 45^{\circ}$

Câu 36

Giá trị lớn nhất của hàm số $f(x) = -6x^3 + 27x^2 - 16x + 1$ trên đoạn $[1;5]$ bằng

A
$\displaystyle 6$
B
$\displaystyle \dfrac{329}{9}$
C
$\displaystyle -\dfrac{14}{9}$
D
$\displaystyle -154$

Câu 37

Cho hàm số bậc bốn $y = f(x)$ . Hàm số $y = f'(x)$ có đồ thị là đường cong trong hình bên. Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Đồ thị hàm số $y = f'(x)$ cắt trục $Ox$ tại các điểm $x=-1$, $x=1$, $x=2$

A
$\displaystyle (-\infty; -1)$
B
$\displaystyle (-1; 2)$
C
$\displaystyle (1; 2)$
D
$\displaystyle (-1; 1)$

Câu 38

Với $a, b$ là hai số thực lớn hơn $1$ , $\log_{ab} b$ bằng

A
$\displaystyle \dfrac{1}{1 + \log_b a}$
B
$\displaystyle \dfrac{1}{\log_b a}$
C
$\displaystyle 1 - \log_b a$
D
$\displaystyle 1 + \log_b a$

Câu 39

Cho hàm số $y = f(x)$ có $f(e) = \dfrac{1}{5}$ và $f'(x) = \dfrac{1}{3} \ln x$ , $\forall x \in (0; +\infty)$ . Biết $\int_{e}^{e^3} \dfrac{f(x)}{x^2} \mathrm{d}x = ae^{-3} + be^{-1} + c$ , với $a, b, c$ là các số hữu tỉ, giá trị của $a - b + c$ thuộc khoảng nào dưới đây?

A
$\displaystyle \left(\dfrac{1}{2}; \dfrac{3}{4}\right)$
B
$\displaystyle \left(\dfrac{1}{4}; \dfrac{1}{2}\right)$
C
$\displaystyle \left(\dfrac{3}{4}; 1\right)$
D
$\displaystyle \left(0; \dfrac{1}{4}\right)$

Câu 40

Có bao nhiêu số nguyên $a$ lớn hơn $1$ sao cho ứng với mỗi $a$ tồn tại không quá $4$ số nguyên $b$ thỏa mãn $5^{b^2} < 25^{-b} \cdot a^{b+2}$ ?

A
$\displaystyle 125$
B
$\displaystyle 100$
C
$\displaystyle 99$
D
$\displaystyle 124$

Câu 41

Cho hàm số bậc bốn $y = f(x)$ có ba điểm cực trị là $-\dfrac{3}{2}; 2; \dfrac{11}{2}$ và đạt giá trị nhỏ nhất trên $\mathbb{R}$ . Bất phương trình $f(x) \le m$ có nghiệm thuộc đoạn $[0; 3]$ khi và chỉ khi

A
$\displaystyle m \ge f(3)$
B
$\displaystyle f(2) \ge m \ge f(3)$
C
$\displaystyle m \ge f(0)$
D
$\displaystyle m \ge f(2)$

Câu 42

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ sao cho ứng với mỗi $m$ tồn tại đúng hai số phức $z$ thỏa mãn $|z - 1 - 5i| + |z - 1 + 5i| = 10$ và $|z - 2 - i| = m$ ?

A
$\displaystyle 5$
B
$\displaystyle 4$
C
$\displaystyle 2$
D
$\displaystyle 3$

Câu 43

Xét hàm số $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ $(a, b, c, d \in \mathbb{R}, a > 0)$ có hai điểm cực trị $x_1, x_2$ (với $x_1 < x_2$ ) thỏa mãn $x_1 + x_2 = 0$ . Hình phẳng giới hạn bởi đường $y = f'(x)f''(x)$ và trục hoành có diện tích bằng $\dfrac{9}{4}$ . Biết $\int_{x_1}^{x_2} \dfrac{f'(x)}{3^x + 1} \mathrm{d}x = -\dfrac{7}{2}$ , giá trị của $\int_{0}^{x_2} (x + 2)f''(x) \mathrm{d}x$ thuộc khoảng nào dưới đây?

A
$\displaystyle (6; 7)$
B
$\displaystyle (-1; 0)$
C
$\displaystyle (0; 1)$
D
$\displaystyle (-7; -6)$

Câu 44

Cho khối lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$ , $AB = a$ . Biết góc giữa hai mặt phẳng $(A'BC)$ và $(ABC)$ bằng $30^\circ$ , thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

A
$\displaystyle \dfrac{\sqrt{6}}{12} a^3$
B
$\displaystyle \dfrac{\sqrt{6}}{36} a^3$
C
$\displaystyle \dfrac{\sqrt{6}}{4} a^3$
D
$\displaystyle \dfrac{3\sqrt{6}}{4} a^3$

Câu 45

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai đường thẳng $d_1: \dfrac{x - 2}{1} = \dfrac{y - 4}{3} = \dfrac{z + 3}{-5}$ và $d_2: \dfrac{x + 2}{1} = \dfrac{y + 2}{-1} = \dfrac{z + 1}{-1}$ . Trong các mặt cầu tiếp xúc với cả hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ , gọi $(S)$ là mặt cầu có bán kính nhỏ nhất, phương trình của $(S)$ là

A
$\displaystyle (x + 1)^2 + y^2 + (z - 1)^2 = 6$
B
$\displaystyle x^2 + (y - 3)^2 + (z + 4)^2 = 6$
C
$\displaystyle (x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z + 1)^2 = 6$
D
$\displaystyle x^2 + (y + 1)^2 + z^2 = 6$

Câu 46

Cho hàm số $f(x) = \dfrac{2}{x^3} + \ln \dfrac{x + 3}{x - 3}$ . Có bao nhiêu số nguyên $a \in (-\infty; 2.100)$ thỏa mãn $f(a - 2024) + f(6a - 27) \ge 0$ ?

A
$\displaystyle 2096$
B
$\displaystyle 288$
C
$\displaystyle 1807$
D
$\displaystyle 360$

Câu 47

Xét phương trình bậc hai $az^2 + bz + c = 0$ $(a, b, c \in \mathbb{R}, a \neq 0)$ có hai nghiệm phức $z_1, z_2$ có phần ảo khác $0$ và $\left|2z_1 - \dfrac{1}{9}\right| = |z_1 - z_2|$ . Giả sử $|z_1| = \dfrac{1}{\sqrt{k}}$ và $w$ là số phức thỏa mãn $cw^2 + bw + a = 0$ , có bao nhiêu số nguyên dương $k$ sao cho ứng với mỗi $k$ tồn tại đúng $9$ số phức $z_3$ có phần ảo nguyên, $z_3 - w$ là số thuần ảo và $|z_3| \le |w|$ ?

A
$\displaystyle 23$
B
$\displaystyle 22$
C
$\displaystyle 11$
D
$\displaystyle 12$

Câu 48

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông cân tại $A$ , $AB = 2a$ , mặt bên $SAB$ là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho bằng

A
$\displaystyle \dfrac{25\pi}{9}a^2$
B
$\displaystyle \dfrac{25\pi}{3}a^2$
C
$\displaystyle \dfrac{28\pi}{3}a^2$
D
$\displaystyle \dfrac{28\pi}{9}a^2$

Câu 49

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1; 6; -1)$ , $B(2; -4; -1)$ và mặt cầu $(S)$ tâm $I(1; 2; -1)$ đi qua $A$ . Điểm $M(a; b; c)$ (với $c > 0$ ) thuộc $(S)$ sao cho $IAM$ là tam giác tù, có diện tích bằng $2\sqrt{7}$ và khoảng cách giữa hai đường thẳng $BM$ và $IA$ lớn nhất. Giá trị của $a + b + c$ thuộc khoảng nào dưới đây?

A
$\displaystyle \left(1; \dfrac{3}{2}\right)$
B
$\displaystyle \left(\dfrac{3}{2}; 2\right)$
C
$\displaystyle \left(\dfrac{5}{2}; 3\right)$
D
$\displaystyle \left(2; \dfrac{5}{2}\right)$

Câu 50

Xét hàm số bậc bốn $y = f(x)$ có $f(-1) = -5$ . Hàm số $y = f'(x)$ đồng biến trên khoảng $(-\infty; +\infty)$ , $f'(4) = 0$ và $f'(-1) = a$ . Có bao nhiêu số nguyên $a \in (-100; 0)$ sao cho ứng với mỗi $a$ , hàm số $y = \left|f(x) + \dfrac{5}{x^2}\right|$ có đúng $3$ điểm cực trị thuộc khoảng $(-1; +\infty)$ ?

A
$\displaystyle 9$
B
$\displaystyle 89$
C
$\displaystyle 10$
D
$\displaystyle 90$