Đề tham khảo tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2025 — Trường THPT chuyên Hùng Vương, Phú Thọ

Câu 1

2,0 điểm

a)
Cho số $a = \sqrt{3 + \sqrt{5 + 2\sqrt{3}}} + \sqrt{3 - \sqrt{5 + 2\sqrt{3}}}$ . Tính giá trị của biểu thức $T = \dfrac{a^{3} + a^{2} - 8a + 4}{a^{3} - 3a^{2} + 17}$ .
b)
Tìm điểm cố định mà đường thẳng $(d): y = (2m - 3)x + 3m - 1$ luôn đi qua với mọi $m$ .

Câu 2

2,0 điểm

a)
Tìm các số nguyên $x, y$ thỏa mãn $\dfrac{1}{x - 1} - \dfrac{2}{y + 2} = \dfrac{1}{3}$ .
b)
Cho số nguyên dương $n$ và số nguyên tố $p$ thỏa mãn $p > n + 1$ . Biết rằng $(-1)^{n} \cdot (p - n - 1)! - 1$ chia hết cho $p$ . Chứng minh rằng $n^{p-1} + n!$ cũng chia hết cho $p$ .

Câu 3

2,0 điểm

a)
Tìm $m$ để phương trình $x^{2} - (m + 2)x + 2m = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ sao cho $x_{1}^{2} + (m + 2)x_{2} = 12$ .
b)
Giải hệ phương trình
$\begin{cases} x^{4} + y^{4} + 1 = 25y^{2} - 2x^{2} \\ x^{2} + y^{2} + 1 = y(18 - x^{2}) \end{cases}$

Câu 4

3,0 điểm

Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O; R)$ có dây $BC$ cố định. Hai đường cao $BE, CF$ cắt nhau tại $H$ . Gọi $M, N$ theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của $H$ trên các đường phân giác trong và đường phân giác ngoài tại đỉnh $A$ của tam giác $ABC$ . Các tiếp tuyến của $(O; R)$ tại $B, C$ cắt nhau tại $P$ , $AP$ cắt $(O; R)$ ở $Q$ khác $A$ .

a)
Chứng minh rằng $MN$ là trung trực của $EF$ .
b)
Chứng minh rằng các đường thẳng $AP, MN, EF$ đồng quy.
c)
Chứng minh rằng khi $A$ thay đổi trên cung lớn $BC$ thì đường thẳng $MN$ luôn đi qua một điểm cố định.

Câu 5

1,0 điểm

Cho bảng hình vuông kích thước $7 \times 7$ . Trên mỗi hình vuông đơn vị của bảng, người ta viết một số thực khác $0$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau đây:

i) Tích các số trên mỗi hình vuông $4 \times 4$ bằng tích các số trên mỗi hình vuông $3 \times 3$ .

ii) Tổng tất cả các số trên hình vuông kích thước $7 \times 7$ bằng $2025$ .

Chứng minh rằng tồn tại một cách viết thỏa mãn yêu cầu bài toán.