Đề minh họa tuyển sinh lớp 10 môn Toán (không chuyên) năm 2025 — Trường Phổ thông Năng khiếu, ĐHQG TP HCM

Thời gian: 120 phút
Số câu: 15 câu
Đáp án: Có đáp án

Phần A. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn — 10 câu · 2,0 điểm

Phần B. Tự luận — 5 câu · 8,0 điểm

Phần A. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn2,0 điểm

Câu 1

Biểu thức $A = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} + \dfrac{2}{\sqrt{x} + 1}$ xác định khi và chỉ khi

A
$x \ge -1$ và $x \ne 1$
B
$x \ge 0$ và $x \ne 1$
C
$\displaystyle x \ne 1$
D
$x \ge -1$ và $x \ne 1$

Câu 2

Thu gọn biểu thức $A = \dfrac{4 - a^2}{4} \sqrt{\dfrac{16}{(a - 2)^2}}; (a < 2)$ ta được kết quả nào sau đây?

A
$\displaystyle 2 - a$
B
$\displaystyle a - 2$
C
$\displaystyle 2 + a$
D
$\displaystyle -a - 2$

Câu 3

Cho parabol $(P): y = x^2$ và đường thẳng $(d): y = -2x - m$ . Tìm $m$ để $(P)$ và $(d)$ có điểm chung

A
$\displaystyle m \le 1$
B
$\displaystyle m \ge 1$
C
$\displaystyle m > 1$
D
$\displaystyle m < 1$

Câu 4

Cho đường thẳng $(d): y = ax + b$ có hình dạng như hình vẽ

Đồ thị đường thẳng (d) trên mặt phẳng tọa độ Oxy

Hỏi kết luận nào sau đây là đúng?

A
$\displaystyle a = 0, b < 0$
B
$\displaystyle a < 0, b < 0$
C
$\displaystyle a > 0, b < 0$
D
$\displaystyle a > 0, b > 0$

Câu 5

Cho tam giác $\Delta ABC$ vuông tại $A$ . Biết $AB = 6cm, BC = 10cm$ . Hãy tính $\cos C$ .

A
$\displaystyle \dfrac{3}{5}$
B
$\displaystyle \dfrac{4}{5}$
C
$\displaystyle \dfrac{1}{2}$
D
$\displaystyle \dfrac{3}{4}$

Câu 6

Biết phương trình $x^2 + 2(m + 1)x - 3 = 0$ có một nghiệm bằng $1$ . Hãy tìm nghiệm còn lại.

A
$\displaystyle 1$
B
$\displaystyle -1$
C
$\displaystyle 2$
D
$\displaystyle -3$

Câu 7

Cho 3 đường tròn có cùng bán kính $50cm$ đôi một tiếp xúc ngoài nhau. Tính diện tích tam giác tạo bởi tâm của các đường tròn này.

A
$\displaystyle 2.500\sqrt{3}cm^2$
B
$\displaystyle 2000\sqrt{3}cm^2$
C
$\displaystyle 1500\sqrt{3}cm^2$
D
$\displaystyle 2.500\sqrt{6}cm^2$

Câu 8

Cho các hàm số $y = 2x^2$ , $y = 4x - 2(1 + 2x)$ , $y = 2x - 3$ , $y = (m^2 + 1)x - 3$ . Trong các hàm số đã cho, có bao nhiêu hàm số là hàm số bậc nhất?

A
$\displaystyle 1$
B
$\displaystyle 2$
C
$\displaystyle 3$
D
$\displaystyle 4$

Câu 9

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , đường cao $AH$ . Gọi $D, E$ lần lượt là hình chiếu của $H$ lên $AB, AC$ . Biết $AB = 3cm, AC = 4cm$ . Tính độ dài đoạn $DE$ .

A
$\displaystyle 5cm$
B
$\displaystyle 7,5cm$
C
$\displaystyle \frac{12}{5}cm$
D
$\displaystyle \frac{7}{2}cm$

Câu 10

Cho tam giác $\Delta ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ , hai tiếp tuyến của $(O)$ tại $A$ và $B$ cắt nhau tại $M$ . Biết $\widehat{ACB} = 40^0$ . Tính số đo góc $\widehat{AMB}$ .

A
$\displaystyle 120^0$
B
$\displaystyle 70^0$
C
$\displaystyle 100^0$
D
$\displaystyle 150^0$

Phần B. Tự luận8,0 điểm

Câu 1

1,0 điểm

Cho biểu thức $A = \frac{2\sqrt{x} - 3}{x - 3\sqrt{x} + 2} - \frac{1}{\sqrt{x} - 2}$ , (với $x \ge 0, x \ne 1, x \ne 4$ ).

a)
Chứng minh biểu thức $A(\sqrt{x} - 1)$ không phụ thuộc vào $x$ .
b)
Tìm $x$ sao cho $A.(x + 1) = 5$ .

Câu 2

2,0 điểm

a)
Giải hệ phương trình $\begin{cases} x^2 + xy + y - 1 = 0 \\ x + \sqrt{x + 2y} = y - 1 \end{cases}$
b)
Cho hình thang $ABCD$ có đáy nhỏ $AB = 2cm$ , đáy lớn $CD = 6cm$ và $M$ là một điểm nằm trên cạnh $BC$ . Xác định tỷ số $\frac{BM}{BC}$ để diện tích tam giác $\Delta MAD$ bằng $\frac{3}{8}$ lần diện tích hình thang $ABCD$ .

Câu 3

1,0 điểm

Cho phương trình $(m + 1)x^2 - 2(m + 2)x + m - 3 = 0$ (1)

a)
Tìm $m$ để phương trình (1) nhận $x = 2$ là nghiệm.
b)
Tìm $m \ne -1$ để phương trình (1) có hai nghiệm $x_1, x_2$ thỏa mãn $(2x_1 - 1)[(m + 1)x_2^2 - 2mx_2 + m - 5] = 10.$

Câu 4

1,0 điểm

Bạn An và Bình mỗi bạn mang một số tiền ra nhà sách mua bút và vở. Một cây bút có giá $10$ (ngàn đồng), một quyển vở có giá $20$ (ngàn đồng). An và Bình nhẩm tính theo số tiền mình đang có mỗi bạn sẽ mua được số bút nhiều gấp đôi số vở. Tuy nhiên ngày hôm nay cửa hàng giảm giá $10\%$ trên mỗi cây bút và giảm $20\%$ trên mỗi quyển vở.

a)
An nhận thấy với cách giảm giá trên mình có thể mua được cùng số bút nhưng nhiều hơn $3$ quyển vở so với dự tính. Hỏi An mang theo bao nhiêu tiền?
b)
Bình nhận thấy với cách giảm giá trên mình có thể mua nhiều hơn dự tính $2$ quyển vở và $2$ cây bút nhưng vẫn dư lại một số tiền. Hỏi ban đầu Bình có bao nhiêu tiền, biết rằng số tiền dư ít hơn $10$ (ngàn đồng).

Câu 5

3,0 điểm

Cho tam giác $\Delta ABC$ cân tại $A$ có $\widehat{BAC} < 90^{0}$ nội tiếp đường tròn $(O)$ . Các tiếp tuyến của $(O)$ tại $A$ và $C$ cắt nhau tại điểm $S$ . Biết $SB$ cắt $(O)$ tại $D$ và $CD$ cắt $SA$ tại $K$ . Gọi $H$ là trung điểm của $AC$ .

a)
Chứng minh rằng $SA \parallel BC$ và $\widehat{KAD} = \widehat{KCA}$ .
b)
Chứng minh rằng $KA^{2} = KC.KD$ và tam giác $\Delta KSD$ đồng dạng với tam giác $\Delta KCS$ .
c)
Chứng minh rằng $K$ là trung điểm của $AS$ và $DB = 2DC$ .

HẾT