Đề khảo sát học sinh giỏi Toán 9 năm 2025 — Trường THCS Ngô Sĩ Liên, Hà Nội

Câu I

5,0 điểm

1)
Cho biểu thức $A = \left(\dfrac{x}{x^{2}+5} - \dfrac{3}{x^{3}-2x^{2}+5x-10}\right) \cdot \left(1+\dfrac{1}{x-3}\right)$ với $x \neq 2; x \neq 3$ .
1. a)
  Rút gọn biểu thức $A$ .
2. b)
  Tìm tất cả giá trị nguyên của $x$ để $A$ nhận giá trị là số nguyên.
2)
Giải hệ phương trình: $\begin{cases} x^{2}+xy+y^{2}=7 \\ x^{3}-2x=y^{3}+3y \end{cases}$

.

Câu II

5,0 điểm

1)
Chứng minh $n(n^{4}+59)$ chia hết cho $30$ với mọi số nguyên $n$ .
2)
Tìm tất cả cặp số nguyên $(x; y)$ thỏa mãn: $x^{2}-xy-2y^{2}+x+4y=6$ .
3)
Cho $n$ là số tự nhiên lớn hơn $1$ thỏa mãn $8n+1$ và $24n+1$ là các số chính phương. Chứng minh $8n+3$ là hợp số.

Câu III

3,0 điểm

Với $a,b,c$ là các số thực không âm, thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=8$

1)
Chứng minh $b+c \le 4$ .
2)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \dfrac{a}{bc+2}+\dfrac{b}{ca+2}+\dfrac{c}{ab+2}$ .

Câu IV

6,0 điểm

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ $(AB < AC)$ , đường cao $AD$ $(D \in BC)$ . Tia phân giác của góc $ADB$ cắt cạnh $AB$ tại $E$ , tia phân giác của góc $ADC$ cắt cạnh $AC$ tại $F$ .

a)
Chứng minh $AF = AC \cdot \dfrac{\sin C}{\sin C+\cos C}$ .
b)
Chứng minh tam giác $DEF$ đồng dạng với tam giác $ABC$ .
c)
Gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $EF$ , đường thẳng $BM$ cắt đường thẳng $CE$ tại $P$ . Chứng minh tia $PM$ là tia phân giác góc $APC$ .

Câu V

1,0 điểm

Cho tập hợp $A$ gồm $2025$ số nguyên dương liên tiếp. Một tập hợp con của tập hợp $A$ là tập hợp mà mọi phần tử của tập hợp đó đều là phần tử của $A$ . Một tập hợp con $B$ của $A$ được gọi là “tốt” nếu hai phần tử $x, y$ phân biệt bất kì thuộc $B$ đều thỏa mãn tính chất: $x+y$ không là bội của $x-y$ . Hỏi tập hợp $B$ như vậy thì có thể có nhiều nhất bao nhiêu phần tử?