Đề kiểm tra giữa kỳ 2 Toán 9 năm 2025 — Trường THCS Nghĩa Tân, Hà Nội

Câu I

2,0 điểm

Cho hai biểu thức $C = \dfrac{2\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}$ và $R = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} - \dfrac{3}{\sqrt{x} + 1} + \dfrac{2}{1 - x}$ với $x \geq 0; x \neq 1$ .

1)
Tính giá trị của biểu thức $C$ khi $x = 9$ .
2)
Chứng minh $R = \dfrac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1}$ .
3)
Cho $P = C.R$ . Chứng minh $P < 2$ .

Câu II

2,0 điểm

Một người đi xe máy từ $A$ đến $B$ trên quãng đường dài $90\,km$ . Lúc quay lại từ $B$ về $A$ , người đó đi một đường khác dài $100\,km$ với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi $10\,km/h$ . Tính vận tốc của người đó lúc đi từ $A$ đến $B$ , biết rằng thời gian lúc về ít hơn thời gian lúc đi $15$ phút.

Câu III

2,0 điểm

1)
Công thức $E = \dfrac{1}{2}mv^2$ (đơn vị $J$ ) được dùng để tính động năng của một vật có khối lượng $m\,(kg)$ khi chuyển động với vận tốc $v\,(m/s)$ . Giả sử một quả bóng có khối lượng $2\,kg$ đang bay với vận tốc $5,4\,m/s$ . Tính động năng của quả bóng đó.
2)
Cho phương trình $x^2 - mx - 4 = 0\ \ (1)$
1. a)
  Chứng minh phương trình $(1)$ luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi $m$ .
2. b)
  Tìm tất cả giá trị dương của $m$ để phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ sao cho $x_1^2 + x_2^2 = 9$ .

Câu IV

3,5 điểm

1)
Một chiếc bàn ăn có mặt bàn hình bầu dục được tạo bởi một mặt hình chữ nhật có kích thước $1,2 \times 2\,m$ ghép với hai đầu là hai nửa hình tròn đường kính $1,2\,m$ (như hình vẽ bên). Tính diện tích mặt bàn của chiếc bàn ăn đó (lấy $\pi \approx 3,14$ ).
2)
Cho nửa đường tròn tâm $O$ , đường kính $AB$ . Lấy điểm $C$ thuộc nửa đường tròn sao cho $AC > CB$ . Hai tiếp tuyến tại $A$ và $C$ của nửa đường tròn $(O)$ cắt nhau tại $M$ . Gọi $H$ là giao điểm của $MO$ và $AC$ .
1. a)
  Chứng minh bốn điểm $M, A, O, C$ cùng thuộc một đường tròn.
2. b)
  Chứng minh $\Delta OAH \sim \Delta OMA$ và $OB^2 = OH.OM$ .
3. c)
  Gọi $E$ là giao điểm của đoạn thẳng $MB$ và nửa đường tròn $(O)$ . Đường thẳng $AE$ cắt $MO$ tại $F$ . Gọi $K$ là hình chiếu vuông góc của $F$ trên $AB$ . Chứng minh $\widehat{AHK} = \widehat{AFK}$ và $HK$ vuông góc với $HB$ .

Câu V

0,5 điểm

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $\widehat{B} = 60^{\circ}$ và $AB = 3\,cm$ . Lấy một điểm $F$ tuỳ ý trên cạnh $AB$ sao cho $BF > 1\,cm$ . Vẽ một phần đường tròn tâm $B$ , bán kính $BF$ cắt $BC$ tại $D$ . Tiếp tục, vẽ một phần đường tròn tâm $C$ , bán kính $CD$ cắt cạnh $AC$ tại $E$ . Tìm vị trí điểm $F$ trên $AB$ để diện tích phần tô đậm là lớn nhất.

Tam giác ABC vuông tại A với phần tô đậm giới hạn bởi các cung tròn tâm B bán kính BF và tâm C bán kính CD