Đề kiểm tra giữa kỳ 2 Toán 9 năm 2025 — Trường THCS Cầu Giấy, Hà Nội

Thời gian: 90 phút
Số câu: 4 câu
Đáp án: Có đáp án

Câu I

2,0 điểm

Cho hai biểu thức: $A = \dfrac{3}{\sqrt{x} - 3} - \dfrac{\sqrt{x} + 15}{x - 9}$ và $B = \dfrac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} - 3}$ với $x \geq 0; x \neq 9$ .

1)
Tính giá trị của $B$ tại $x = 4$ .
2)
Chứng minh $A = \dfrac{2}{\sqrt{x} + 3}$ .
3)
Đặt $P = A \cdot B$ . Tìm số nguyên tố $x$ để $P \leq -\dfrac{2}{3}$ .

Câu II

3,5 điểm

1)
Trong cuộc thi “Đố vui để học”, mỗi thí sinh phải trả lời đủ 15 câu hỏi của ban tổ chức. Mỗi câu hỏi gồm bốn phương án, trong đó chỉ có một phương án đúng. Với mỗi câu hỏi, nếu trả lời đúng thì được cộng 5 điểm, trả lời sai bị trừ 2 điểm. Khi bắt đầu cuộc thi mỗi thí sinh có sẵn 20 điểm. Thí sinh nào đạt từ 90 điểm trở lên sẽ được vào vòng tiếp theo. Hỏi thí sinh phải trả lời đúng ít nhất bao nhiêu câu thì được vào vòng thi tiếp theo?
2)
Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 30 m. Nếu tăng độ dài một cạnh lên 1 m và giảm độ dài cạnh còn lại 2 m thì diện tích mảnh đất giảm đi 5 mét vuông. Tìm độ dài các cạnh của mảnh đất hình chữ nhật ban đầu.
3)
Cho phương trình: $x^{2} - 6x + m - 1 = 0$ với $m$ là tham số. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: $x_{1}x_{2} + 1 = \dfrac{1}{x_{1}} + \dfrac{1}{x_{2}}$ .

Câu III

4,0 điểm

Cho tam giác $ABC$ nhọn $(AB < AC)$ nội tiếp đường tròn $(O; R)$ . Kẻ các đường cao $AD, BE$ của tam giác $ABC$ . Kẻ đường kính $AK$ của đường tròn tâm $O$ . Gọi $F$ là hình chiếu của điểm $B$ trên $AK$ .

a)
Chứng minh năm điểm $A, B, D, E, F$ cùng nằm trên một đường tròn.
b)
Chứng minh $AB \cdot AC = AK \cdot AD$ và $DF \parallel BE$ .
c)
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ . Chứng minh ba điểm $E, F, M$ thẳng hàng.

Câu IV

0,5 điểm

Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất 8.000 quả bóng tennis. Công ty này sở hữu một số máy móc, mỗi máy móc có thể sản xuất 30 quả bóng trong một giờ. Chi phí thiết lập các máy này là 200 nghìn đồng cho mỗi máy. Khi được thiết lập, hoạt động sản xuất sẽ hoàn toàn diễn ra tự động dưới sự giám sát. Số tiền phải trả cho người giám sát là 192 nghìn đồng một giờ (người này sẽ giám sát tất cả các máy hoạt động). Số máy móc công ty nên sử dụng là bao nhiêu để chi phí sản xuất là thấp nhất?

HẾT