Đề kiểm tra giữa kỳ 2 Toán 9 năm 2024 — Trường THCS Giảng Võ, Hà Nội

Câu I

2,0 điểm

Cho hai biểu thức $A = \dfrac{x - 3}{\sqrt{x} + 2}$ và $B = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2} + \dfrac{5}{\sqrt{x} + 2} - \dfrac{3\sqrt{x} - 14}{x - 4}$ với $x \geq 0, x \neq 4$ .

1)
Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x = 25$ .
2)
Chứng minh $B = \dfrac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 2}$ .
3)
Tìm tất cả giá trị của $x$ để $A.B > 6$ .

Câu II

2,0 điểm

Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình:

Một mảnh đất có dạng hình chữ nhật. Nếu tăng chiều dài thêm $3\,m$ và giảm chiều rộng $2\,m$ thì diện tích mảnh đất không đổi. Nếu tăng mỗi chiều thêm $1\,m$ thì diện tích mảnh đất sẽ tăng thêm $23\,m^{2}$ . Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất.

Câu III

2,5 điểm

1)
Giải hệ phương trình
$\begin{cases} 8\sqrt{x} + \dfrac{1}{2y - 1} = 5 \\ 4\sqrt{x} - \dfrac{1}{2y - 1} = 3 \end{cases}.$
2)
Cho phương trình $x^{2} - 2(m + 1)x + m^{2} = 0$ (1) ( $x$ là ẩn số).
1. a)
  Giải phương trình (1) khi $m = 4$ .
2. b)
  Tìm tất cả giá trị của $m$ để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{1}x_{2} = 4$ .

Câu IV

3,0 điểm

Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn $(AB < AC)$ . Vẽ đường tròn tâm $O$ với đường kính $BC$ cắt các đoạn thẳng $AB, AC$ lần lượt tại các điểm $M$ và $N$ . Gọi $H$ là giao điểm của hai đường thẳng $BN$ và $CM$ .

1)
Chứng minh tứ giác $AMHN$ là tứ giác nội tiếp.
2)
Chứng minh $NA.NC = NH.NB$ .
3)
Lấy $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $MN$ . Gọi $E$ là giao điểm của đường thẳng $MN$ và tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại điểm $C$ . Đường thẳng đi qua điểm $C$ và song song với $BN$ cắt đường thẳng $AB$ tại điểm $K$ . Chứng minh $\widehat{NIC} = \widehat{EOC}$ và ba điểm $O, E, K$ là ba điểm thẳng hàng.

Câu V

0,5 điểm

Cho các số thực $x$ và $y$ thỏa mãn $7x^{2} + 8y^{2} + 9xy \leq 24$ . Chứng minh

8x + 10y + 15xy \leq 33.