Đề kiểm tra giữa kỳ 2 Toán 12 năm 2025 — Trường THCS-THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm, Hà NộiMã đề 101

Thời gian: 90 phút
Số câu: 22 câu
Đáp án: Có đáp án

Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn3,0 điểm

Câu 1

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$ và có $f'(x) = 4 - x^2$ với mọi số thực $x$ . Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A
$\displaystyle (-2; 2)$
B
$\displaystyle (-\infty; -2)$
C
$\displaystyle (0; +\infty)$
D
$\displaystyle (0; 4)$

Câu 2

Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \frac{2x - 1}{x + 1}$ trên đoạn $[0; 2]$ bằng

A
$\displaystyle 0$
B
$\displaystyle -1$
C
$\displaystyle 2$
D
$\displaystyle 1$

Câu 3

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ . Khẳng định nào sau đây sai?

A
$\displaystyle \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}$
B
$\displaystyle \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC}$
C
$\displaystyle \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$
D
$\displaystyle \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD'} = \overrightarrow{AD'}$

Câu 4

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1; 2; -2)$ và $B(0; 3; 1)$ . Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ là

A
$\displaystyle (1; -1; -3)$
B
$\displaystyle (-1; 1; 3)$
C
$\displaystyle (1; 5; -1)$
D
$\displaystyle (8; 1; 3)$

Câu 5

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai vectơ $\vec{u} = (-2; 3; 0)$ và $\vec{v} = (1; 2; 1)$ . Tích vô hướng của hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ bằng

A
$\displaystyle 5$
B
$\displaystyle -8$
C
$\displaystyle 3$
D
$\displaystyle 4$

Câu 6

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai vectơ $\vec{u} = (2; 0; -1)$ và $\vec{v} = (1; -1; 2)$ . Độ dài của vectơ $\vec{w} = \vec{u} + 2\vec{v}$ bằng

A
$\displaystyle 29$
B
$\displaystyle \sqrt{29}$
C
$\displaystyle \sqrt{5} + 2\sqrt{6}$
D
$\displaystyle 5$

Câu 7

Một bác tài xế taxi thống kê lại độ dài quãng đường bác đã lái xe mỗi ngày trong một tháng ở bảng sau:

{\def\arraystretch{1.4}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Quãng đường (km)} & [50; 100) & [100; 150) & [150; 200) & [200; 250) & [250; 300) \\ \hline \text{Số ngày} & 5 & 10 & 9 & 4 & 2 \\ \hline \end{array}}

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên bằng

A
$\displaystyle 250$
B
$\displaystyle 300$
C
$\displaystyle 200$
D
$\displaystyle 350$

Câu 8

Thống kê điểm kiểm tra định kỳ môn Toán của lớp 12A được kết quả cho ở bảng sau:

{\def\arraystretch{1.4}\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Điểm} & [6; 7) & [7; 8) & [8; 9) & [9; 10) \\ \hline \text{Số học sinh} & 2 & 8 & 18 & 12 \\ \hline \end{array}}

Phương sai của mẫu số liệu trên bằng

A
$\displaystyle 8,5$
B
$\displaystyle 0,7$
C
$\displaystyle 0,6$
D
$\displaystyle 0,15$

Câu 9

Khẳng định nào sau đây là sai?

A
$\displaystyle \int x \mathrm{d}x = \frac{1}{2}x^2 + C$
B
$\displaystyle \int e^x \mathrm{d}x = e^x + C$
C
$\displaystyle \int \cos x \mathrm{d}x = -\sin x + C$
D
$\displaystyle \int \frac{1}{x} \mathrm{d}x = \ln|x| + C$

Câu 10

Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[a; b]$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A
$\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x = F(a) - F(b)$
B
$\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x = F(a) + F(b)$
C
$\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x = F(b) - F(a)$
D
$\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x = F(a) \cdot F(b)$

Câu 11

Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P): 3x - z + 2 = 0$ . Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ ?

A
$\displaystyle \overrightarrow{n}_1 = (3; -1; 2)$
B
$\displaystyle \overrightarrow{n}_2 = (3; 0; 2)$
C
$\displaystyle \overrightarrow{n}_3 = (3; 0; -1)$
D
$\displaystyle \overrightarrow{n}_4 = (3; -1; 0)$

Câu 12

Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P): x - 2y + z + 5 = 0$ . Điểm nào sau đây không nằm trên mặt phẳng $(P)$ ?

A
$\displaystyle M(-1; 2; 0)$
B
$\displaystyle N(0; 1; -3)$
C
$\displaystyle Q(1; 1; -2)$
D
$\displaystyle P(-1; 3; 2)$

Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai4,0 điểm

Câu 1

Cho hàm số $f(x) = x^3 - 3x + 1.$

a)
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(-\infty; -1)$ và $(1; +\infty)$
b)
Đồ thị của hàm số đã cho là đường cong trong hình vẽ dưới đây
c)
Đồ thị của hàm số $g(x) = \dfrac{1}{f(x)}$ có tổng số ba đường tiệm cận
d)
Hàm số $h(x) = f(2025 - x)$ đạt cực đại tại điểm $x_0 = 2024$

Câu 2

Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ . Biết rằng $F(1) = -1, F(3) = 5.$

a)
$\int_1^3 f(x) \mathrm{d}x = 6$
b)
$\int_1^3 [3f(x) - 1] \mathrm{d}x = 17$
c)
Nếu $\int_1^4 f(x) \mathrm{d}x = 15$ thì $\int_3^4 f(x) \mathrm{d}x = 9$
d)
Nếu $G(x)$ cũng là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $F(3) - G(1) = 10$ thì $G(x) = F(x) + 4$

Câu 3

Cắt một chiếc trống đồng có dạng khối tròn xoay bởi một mặt phẳng đi qua tâm của đáy và vuông góc với mặt đáy được mặt cắt là phần hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ dưới đây. Biết rằng hai đường cong thành bên lần lượt là một phần của đường parabol $y = f(x)$ và $y = g(x)$ .

Mặt cắt chiếc trống đồng với hệ trục $Oxy$, hai đường parabol $y=f(x)$ và $y=g(x)$, chiều cao 80 cm, chiều rộng 80 cm và khoảng cách từ đỉnh parabol đến cạnh 16 cm

a)
$f(x) = \dfrac{1}{100}x^2 + 24$
b)
$g(x) = f(-x)$
c)
Diện tích của phần mặt cắt bằng $\dfrac{7.040}{3} \text{ cm}^2$
d)
Thể tích của chiếc trống đồng bằng $70.656\pi \text{ cm}^3$

Câu 4

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(0; -2; 1)$ , $B(1; 0; 2)$ và mặt phẳng $(P): x - 2y + 2z - 2 = 0$ . Gọi $(Q)$ là mặt phẳng đi qua hai điểm $A, B$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$ .

a)
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $\vec{n}_{(P)} = (1; -2; 2)$
b)
$\overrightarrow{AB}$ và $\vec{n}_{(P)}$ là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng $(Q)$
c)
Phương trình mặt phẳng $(Q)$ là: $6x - y - 4z - 4 = 0$
d)
Khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến mặt phẳng $(Q)$ bằng $\dfrac{\sqrt{53}}{53}$

Phần III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn3,0 điểm

Câu 1

Một công ty sản xuất đồ chơi dự kiến sản xuất không quá 1000 bộ đồ chơi mỗi tháng để đáp ứng nhu cầu thị trường. Nếu sản xuất $x$ bộ đồ chơi, doanh thu có thể đạt khi bán hết là $F(x) = 2x^3 - 6.000x^2 + 3.000.000x + 8.000.000$ (đồng). Chi phí trung bình cho mỗi bộ là $\overline{C}(x) = 1,5x + 1800 + \dfrac{5.000.000}{x}$ (đồng). Hỏi công ty cần sản xuất bao nhiêu bộ đồ chơi để thu được lợi nhuận lớn nhất?

Trả lời:

Câu 2

Vi khuẩn $E. coli$ sống chủ yếu ở đường ruột và có số lượng lớn nhất trong hệ vi sinh vật của cơ thể. Một quần thể vi khuẩn $E. coli$ được quan sát trong điều kiện thích hợp, có tốc độ sinh sản được cho bởi hàm số $f(t) = 480 \cdot 2^{t} \ln 2$ . Trong đó $t$ tính bằng giờ $(t > 0)$ , $f(t)$ tính bằng cá thể/giờ (Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e, Cengage). Biết tại thời điểm bắt đầu quan sát, số lượng cá thể được ước tính một cách chính xác khoảng 480 cá thể. Hỏi sau 3 giờ số lượng cá thể bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Câu 3

Cho $f(x) = x^{2} \ln x$ . Biết rằng $\int_{1}^{3} \left( f'(x) + \dfrac{x - 3}{x} \right) \mathrm{d}x = a \ln b + c$ (với $a, b, c \in \mathbb{Q}, b < 5$ ), hãy tính $abc$ .

Trả lời:

Câu 4

Một khối bê tông có chiều cao $2$ m được đặt trên mặt đất. Nếu cắt khối bê tông bởi một mặt phẳng nằm ngang và cách mặt đất $x$ m $(0 \leq x \leq 2)$ thì được mặt cắt là một hình chữ nhật có chiều dài $5$ m và chiều rộng bằng $(0,5)^{x}$ m (tham khảo hình vẽ dưới đây). Tính thể tích (đơn vị m $^{3}$ ) của khối bê tông đó (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Hình vẽ khối bê tông cao 2 m với mặt cắt là hình chữ nhật màu xanh có chiều dài 5 m và chiều rộng $(0,5)^x$ m cách mặt đất $x$ m

Trả lời:

Câu 5

Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $M(1;2;5)$ . Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua $M$ và cách gốc tọa độ $O$ một khoảng lớn nhất. Biết mặt phẳng $(P)$ cắt ba tia $Ox$ , $Oy$ , $Oz$ lần lượt tại ba điểm $A$ , $B$ , $C$ . Tính thể tích tứ diện $OABC$ .

Trả lời:

Câu 6

Một kĩ sư xây dựng thiết kế khung một ngôi nhà trong không gian $Oxyz$ như hình vẽ bên nhờ một phần mềm đồ họa máy tính (đơn vị trên mỗi trục là mét). Biết rằng sàn nhà, bốn mặt bên cùng với các mặt phẳng $(DEMN)$ và $(MNHF)$ là các hình chữ nhật, tính khoảng cách từ điểm $B$ đến mặt phẳng $(DEMN)$ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Hình vẽ khung ngôi nhà trong không gian $Oxyz$ với các điểm $A, B, C, D, E, F, H, M, N, O$ và các kích thước 6 m, 4 m, 5 m, 2 m

Trả lời:

HẾT