Đề khảo sát vào lớp 10 môn Toán năm 2026–2027 — Trường THPT chuyên Thái Nguyên

Thời gian: 120 phút
Số câu: 7 câu
Đáp án: Có đáp án

Câu 1

2,0 điểm

Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy giải phương trình và hệ phương trình sau

a)
$2x^2 - 5x + 2 = 0$
b)
$\begin{cases} 3x - 2y = 5 \\ 2x + y = -5 \end{cases}$

Câu 2

1,0 điểm

Cho biểu thức $Q = \left(\dfrac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 5}\right) : \left(\dfrac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 2} + \dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} + \dfrac{2 + 5\sqrt{x}}{4 - x}\right)$ , với $x > 0, x \neq 4, x \neq 25$ .

a)
Rút gọn biểu thức $Q$ .
b)
Tìm $x$ để $Q < 1$ .

Câu 3

1,0 điểm

Một nhà kho chứa đồ gia dụng có tổng cộng 1200 thùng hàng. Mỗi ngày nhân viên sẽ lấy 30 thùng hàng để đi phân phối cho các đại lý và kho không nhập thêm hàng mới trong suốt quá trình này.

a)
Gọi $y$ là số thùng hàng còn lại trong kho sau $x$ ngày. Hãy lập công thức tính $y$ theo $x$ .
b)
Để đảm bảo luôn có lượng hàng dự phòng cho các tình huống khẩn cấp, quản lý yêu cầu số thùng hàng còn lại trong kho không được ít hơn 150 thùng. Hỏi nhân viên có thể phân phối hàng trong tối đa bao nhiêu ngày để vẫn thỏa mãn yêu cầu của quản lý?

Câu 4

1,0 điểm

Để chuẩn bị cho ngày Tết thiếu nhi 1/6 sắp đến, một nhóm học sinh cần chia đều một số lượng quyển vở thành các phần quà để tặng các em nhỏ tại một mái ấm tình thương. Nếu mỗi phần quà giảm đi 2 quyển vở thì các em sẽ có thêm 2 phần quà nữa, còn nếu mỗi phần quà giảm đi 4 quyển vở thì các em sẽ có thêm 5 phần quà nữa. Hỏi ban đầu có bao nhiêu phần quà và mỗi phần quà có bao nhiêu quyển vở?

Câu 5

1,5 điểm

a)
Tỉ lệ học sinh bình chọn cho danh hiệu cầu thủ xuất sắc nhất trong giải bóng đá của một trường THPT được cho trong bảng sau:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Cầu thủ} & \text{Tuấn} & \text{Trường} & \text{An} & \text{Minh} \\ \hline \text{Tỉ lệ học sinh bình chọn} & 23\% & 35\% & 27\% & 15\% \\ \hline \end{array}$
Biết rằng có 600 học sinh tham gia bình chọn. Hãy lập bảng tần số biểu diễn số học sinh bình chọn cho danh hiệu cầu thủ xuất sắc nhất trong giải bóng đá của trường.
b)
Một hộp có chứa ba viên bi màu vàng lần lượt ghi các số $1; 2; 3$ và ba viên bi màu xanh cũng lần lượt ghi các số $1; 2; 3$ . Các viên bi có kích thước và khối lượng như nhau. Lấy ngẫu nhiên đồng thời hai viên bi trong hộp. Tính xác suất của biến cố: “Hai viên bi được lấy ra khác màu và khác số”.

Câu 6

2,0 điểm

a)
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , đường cao $AH$ . Biết $AB = 6 (cm)$ và $\widehat{BAH} = 30^\circ$ . Tính độ dài các đoạn thẳng $AC, BC, AH$ .
b)
Từ một khúc gỗ hình trụ cao $30 (cm)$ , người ta tiện thành một hình nón có đáy là hình tròn bằng với đáy hình trụ, chiều cao của hình nón bằng chiều cao của hình trụ. Biết phần gỗ bỏ đi có thể tích là $3.125\pi (cm^3)$ . Tính thể tích khúc gỗ hình trụ ban đầu (kết quả làm tròn tới hàng đơn vị).

Câu 7

1,5 điểm

Cho đường tròn $(O, R)$ và dây $AB$ ( $AB$ không là đường kính). Gọi $N$ là trung điểm của $AB$ . Qua $N$ , kẻ đường kính $CD$ của đường tròn $(O)$ ( $C$ thuộc cung nhỏ $AB$ ). Lấy điểm $M$ trên cung lớn $AB$ ( $M \neq A, M \neq B, M \neq D$ ), $MC$ cắt $AB$ tại $F$ . Hai đường thẳng $DM$ và $AB$ cắt nhau tại $E$ .

a)
Chứng minh bốn điểm $M, N, C, E$ cùng thuộc một đường tròn.
b)
Gọi $I$ là giao điểm của hai đường thẳng $DF$ và $CE$ . Chứng minh $NE$ là tia phân giác của $\widehat{MNI}$ .
c)
Gọi $K$ là giao điểm của hai đường thẳng $MI$ và $CD$ . Chứng minh rằng: $\dfrac{KC}{KD} = \dfrac{CN}{DN}$ .

HẾT