Đề khảo sát tuyển sinh lớp 10 môn Toán năm 2025 — Phòng GD&ĐT Tiền Hải, Thái Bình

Câu 1

2,0 điểm

1)
Rút gọn biểu thức $A = 2\sqrt{125} - 5\sqrt{45} + 6\sqrt{20}$ .
2)
Cho biểu thức $P = \dfrac{2\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 3} + \dfrac{3\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 1} - \dfrac{15\sqrt{x} - 11}{x + 2\sqrt{x} - 3}$ với $x \ge 0; x \ne 1$ .
1. a)
  Chứng minh $P = \dfrac{5\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 3}$ .
2. b)
  Tìm giá trị $x$ nguyên lớn nhất để $P < \dfrac{3}{2}$ .

Câu 2

2,0 điểm

1)
Giải hệ phương trình và phương trình sau.
1. a)
  $\begin{cases} 2x - 3y = 1 \\ x + 4y = 6 \end{cases}$
  
  .
2. b)
  $5x^{2} + 9x - 2 = 0$ .
2)
Một cây cầu treo có trụ tháp đôi cao $75\text{m}$ so với mặt của cây cầu và cách nhau $400\text{m}$ . Các dây cáp có dạng đồ thị của hàm số $y = ax^{2} (a \ne 0)$ như hình bên và được treo trên các đỉnh tháp.
1. a)
  Xác định hệ số $a$ của hàm số trên.
2. b)
  Tìm chiều cao $CH$ của dây cáp biết điểm $H$ cách tâm $O$ của cây cầu $100\text{m}$ (giả sử mặt của cây cầu là bằng phẳng).

Câu 3

2,5 điểm

1)
Thống kê điểm kiểm tra cuối kì I môn toán của $40$ học sinh lớp 9A được kết quả như sau:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Điểm} & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline \text{Số học sinh} & 4 & 8 & 10 & 12 & 6 \\ \hline \end{array}$
1. a)
  Lập bảng tần số tương đối cho bảng thống kê trên.
2. b)
  Chọn ngẫu nhiên $1$ bạn lớp 9A đi dự Hội nghị “Dạy tốt, học tốt” của nhà trường. Tính xác suất của biến cố “Chọn được học sinh có điểm Toán cao hơn $7$ ” để tham dự Hội nghị.
2)
Một lon nước ngọt có dạng hình trụ với chiều cao $14\text{cm}$ và đường kính đáy là $6\text{cm}$ . Tính thể tích lon nước ngọt, (lấy $\pi \approx 3,14$ và làm tròn đến số thập phân thứ nhất).

Câu 4

3,0 điểm

Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$ . Các đường cao $AD$ , $BE$ và $CF$ của tam giác $ABC$ cắt nhau tại $H$ .

1)
Chứng minh rằng tứ giác $BFEC$ nội tiếp và $BH \cdot BE = BD \cdot BC$ .
2)
Chứng minh hai tam giác $BFE$ và $DHE$ đồng dạng.
3)
Gọi giao điểm $AD$ với $(O)$ là $I$ , $IE$ cắt $(O)$ tại $K$ , $M$ là trung điểm của $EF$ . Chứng minh $3$ điểm $B$ , $M$ , $K$ thẳng hàng.

Câu 5

0,5 điểm

Cho các số $a, b, c > 0$ thỏa mãn $a + b + c = 1$ . Chứng minh $\dfrac{a}{1 + 9b^{2}} + \dfrac{b}{1 + 9c^{2}} + \dfrac{c}{1 + 9a^{2}} \ge \dfrac{1}{2}$ .