Đề khảo sát tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2026 — Trường THPT chuyên Thái Nguyên

Câu 1

2,0 điểm

Cho biểu thức:

$P = \frac{\sqrt{x} + 2}{x + \sqrt{x} + 3} + \frac{2\sqrt{x} + 4}{x + \sqrt{x} - 2} - \frac{6\sqrt{x} + 4}{x\sqrt{x} + 2\sqrt{x} - 3} \text{ với } x \ge 0 \text{ và } x \ne 1.$

a)
Rút gọn biểu thức $P$ .
b)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P$ .

Câu 2

1,0 điểm

Cho đa thức $P(x)$ với hệ số thực thỏa mãn

$(x + 8)P(2x) = (8x - 24)P(x + 5), \text{ với mọi số thực } x.$

a)
Chứng minh $-3$ và $6$ là hai nghiệm của $P(x)$ .
b)
Biết $P(x)$ là đa thức bậc ba và $P(0) = 72$ . Tính $P(1)$ .

Câu 3

1,0 điểm

Cho tập hợp $X = \{1, 2, 3, 5, 8\}$ gồm 5 phần tử.

a)
Bạn An lấy ngẫu nhiên hai số trong tập hợp $X$ , mô tả không gian mẫu của phép thử trên.
b)
Sau khi lấy ngẫu nhiên hai số từ tập hợp $X$ , bạn An cộng hai số đó lại để được một số tự nhiên mới và điền kết quả vào chỗ trống trong phương trình $x^2 + 6x + ... = 0$ . Tính xác suất của biến cố “Phương trình tạo được vô nghiệm”.

Câu 4

2,0 điểm

a)
Với mỗi số thực $a$ , ta gọi phần nguyên của số $a$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $a$ . Tìm phần nguyên của số $M = \frac{3}{1.2} + \frac{7}{2.3} + ... + \frac{2026^2 + 2026 + 1}{2026.2027}$ .
b)
Tìm tất cả các số nguyên tố có dạng $P = n^n + 1$ với $n$ là số tự nhiên và $P < 2^{165}$ .

Câu 5

1,0 điểm

Cho dãy số $a_1, a_2, ..., a_{4.052}$ bao gồm các số từ $1$ đến $2026$ , mỗi số xuất hiện đúng hai lần. Có thể sắp xếp các số hạng của dãy sao cho với mỗi số $n \in \{1, 2, ..., 2026\}$ , có đúng $n$ số nằm giữa hai số $n$ trong dãy hay không?

Câu 6

3,0 điểm

Cho tam giác nhọn $ABC$ (với $AB < AC$ ) nội tiếp đường tròn $(O)$ , các đường cao $AD, BE, CF$ cắt nhau tại $H$ . Gọi $M, I$ lần lượt là trung điểm của $BC, AH$ ; $P$ là giao điểm khác $A$ của $AH$ và đường tròn $(O)$ ; $K$ là giao điểm của $AD$ và $EF$ .

a)
Chứng minh năm điểm $M, D, I, E, F$ cùng thuộc một đường tròn.
b)
Chứng minh $AK.AP = AH.AD$ .
c)
Tia $OI$ cắt đường thẳng qua $A$ và song song với $BC$ tại $S$ . Chứng minh $S, K, M$ thẳng hàng.