Đề khảo sát tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2026 — Trường THPT chuyên Lam Sơn, Thanh Hóa

Câu I

2,0 điểm

1)
Cho số $a = \sqrt{5 + 2\sqrt{4 + \sqrt{5}}} + \sqrt{5 - 2\sqrt{4 + \sqrt{5}}}$ . Tính giá trị của biểu thức $T = \dfrac{a^{3} - 8a + 3}{a^{3} - 3a^{2} - 2a + 2026}$
2)
Cho các số thực $x, y$ thỏa mãn $x^{3} + y^{3} - 3(x^{2} + y^{2}) + 4(x + y) - 4 = 0$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M = x^{3} + y^{3} + 2x^{2}y + 2xy^{2}$

Câu II

1,0 điểm

Giải hệ phương trình sau

\begin{cases} \sqrt{y + 91} = \sqrt{x - 2} + y \\ 2y^{5} - 2x^{2}y^{4} - 2y^{2} + (1 + 2x^{2})y - x^{2} = 0 \end{cases}

Câu III

1,0 điểm

Ông A thuê thợ làm một mảnh vườn như hình vẽ bên. Trong đó, cả 4 hình tròn đều có bán kính bằng nhau và bằng 5 mét, cung tròn của đường tròn này nằm phía trong đường tròn kia đều có số đo bằng $90^\circ$ . Trên mảnh vườn đó, 4 phần giao nhau của các cặp hình tròn được trồng hoa với giá tiền 50.000 đồng một mét vuông, 4 phần còn lại nằm phía trong các đường tròn được trồng cỏ với giá tiền 30.000 đồng một mét vuông. Toàn bộ chu vi các đường tròn và 4 đoạn thẳng nối bên ngoài được làm rào trang trí với giá tiền 20.000 đồng một mét chạy dài. Tính số tiền mà ông A phải trả cho thợ làm mảnh vườn đó (làm tròn đến hàng nghìn đồng).

Hình vẽ mảnh vườn gồm 4 hình tròn giao nhau

Câu IV

2,0 điểm

1)
Cho số nguyên dương $n \ge 2$ và số nguyên tố lẻ $p$ sao cho $p - 1$ chia hết cho $n$ và $n^{3} - 1$ chia hết cho $p$ . Chứng minh rằng $4p - 3$ là số chính phương.
2)
Tìm tất cả các số nguyên tố $p, q$ sao cho biểu thức $M = p^{2} + 2025pq + q^{2}$ là một lũy thừa của $2027$ .

Câu V

3,0 điểm

Cho tam giác $ABC$ nhọn, nội tiếp đường tròn $(O)$ . Gọi $K$ là điểm sao cho $AK$ là đường kính của $(O)$ . Các đường cao $AD, BE, CF$ của tam giác $ABC$ cắt nhau tại $H$ . Đường thẳng $EF$ cắt đường tròn $(O)$ tại hai điểm $P, Q$ ( $P$ và $C$ nằm ở hai phía đối với đường thẳng $AB$ ). Gọi $M$ là trung điểm $BC$ .

1)
Chứng minh hai góc $\widehat{OAC}, \widehat{BAH}$ bằng nhau.
2)
Chứng minh $AP^{2} = 2AD.OM$ .
3)
Dây $KQ$ cắt $BC$ tại $L$ . Chứng minh hai đường thẳng $AL, HQ$ cắt nhau tại một điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ .

Câu VI

1,0 điểm

Một bảng vuông gồm $11 \times 11$ ô vuông nhỏ, mỗi ô vuông nhỏ chứa nhiều nhất một viên sỏi. Tìm số viên sỏi bé nhất trên bảng sao cho khi ta chọn một ô trống bất kì, tổng số các viên sỏi trong hàng và cột tương ứng với ô trống này ít nhất là $11$ .