Đề khảo sát chọn nguồn học sinh giỏi Toán 9 vòng 5 năm 2024–2025 — Phòng GD&ĐT Đông Hưng, Thái Bình

Câu 1

5,0 điểm

1)
Cho biểu thức:
$P = \left(\dfrac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{1 - \sqrt{xy}} + \dfrac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{1 + \sqrt{xy}}\right) : \left(1 + \dfrac{x + y + 2xy}{1 - xy}\right)$
1. a)
  Rút gọn P
2. b)
  Tính giá trị của P khi $x = \dfrac{2}{2 - \sqrt{3}}$
3. c)
  Tìm giá trị lớn nhất của P.
2)
Cho $x = \dfrac{\sqrt[3]{10 + 6\sqrt{3}}(\sqrt{3} - 1)}{\sqrt{6 + 2\sqrt{5}} - \sqrt{5}}$ . Tính giá trị của $P = \left(12x^{2} + 4x - 55\right)^{2025}$ .

4,0 điểm

Cho phương trình $(m^{2} + 5)x^{2} - 2mx - 6m = 0$ (1) với m là tham số.

a)
Tìm m sao cho phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. Chứng minh rằng khi đó tổng của hai nghiệm không thể là số nguyên.
b)
Tìm m sao cho phương trình (1) có hai nghiệm $x_{1}; x_{2}$ thỏa mãn điều kiện
$\left(x_{1}x_{2} - \sqrt{x_{1} + x_{2}}\right)^{4} = 16$

4,0 điểm

1)
Bạn Phong đi siêu thị nếu mua 1 chiếc áo polo Lacoste và 1 đôi giày hãng Li-Ning theo giá niêm yết hết 800 000 đồng. Nhưng gặp đợt khuyến mãi nên 1 chiếc áo polo Lacoste giảm 5% và 1 đôi giày hãng Li-Ning giảm 10%, vì vậy bạn Phong chỉ phải trả 735 000 đồng.
1. a)
  Hãy tính giá niêm yết ban đầu của 1 chiếc áo polo Lacoste và 1 đôi giày hãng Li-Ning?
2. b)
  Ngoài ra, siêu thị có thêm ưu đãi nếu khách hàng có hóa đơn từ 2 000 000 đồng trở lên sẽ được giảm tiếp 10% trên tổng số tiền đã mua. Trong dịp này, bạn Phong đã mua 4 chiếc áo polo Lacoste và 2 đôi giày hãng Li-Ning. Hỏi bạn Phong trả hết tất cả bao nhiêu tiền?
2)
Giải hệ phương trình
$\begin{cases} x^{3} - y^{3} + 3x^{2} + 6x - 3y + 4 = 0 \\ x^{2} + y^{2} - 3x = 1 \end{cases}$

6,0 điểm

Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi M là một điểm bất kì thuộc cung nhỏ BC của đường tròn (O). Trên MA lấy điểm I sao cho $MI = MB$ .

a)
Chứng minh rằng $\Delta ABI = \Delta CBM$ suy ra $MA = MB + MC$ .
b)
Gọi D là giao điểm của MA và BC. Chứng minh rằng $\dfrac{1}{MB} + \dfrac{1}{MC} = \dfrac{1}{MD}$
c)
Chứng minh rằng $MA^{2} + MB^{2} + MC^{2} = 2AB^{2}$

1,0 điểm

Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn $x + y + z = 1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

T = \dfrac{x^{2}}{y + z} + \dfrac{y^{2}}{z + x} + \dfrac{z^{2}}{x + y}