Đề khảo sát học sinh giỏi Toán 8 năm 2024–2025 — Phòng GD&ĐT Tiền Hải, Thái Bình

Câu 1

5,0 điểm

1)
1. Phân tích đa thức $x^2 - 4xy + 4y^2 + 2x - 4y$ thành nhân tử.
2)
Cho biểu thức $P = \frac{x+2}{x+3} - \frac{5}{(x+3)(x-2)} - \frac{1}{x-2}$ với $x \neq 2, x \neq -3$ .

Rút gọn P và tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức P nhận giá trị nguyên.
3)
Cho hai số a, b thỏa mãn $a^3 - 3a^2 + 5a - 2025 = 0$ và $b^3 - 3b^2 + 5b + 2019 = 0$ . Tính $a + b$ .

Câu 2

4,0 điểm

1)
Tìm x biết $(x-7)(x-5)(x-4)(x-2) = 72$ .
2)
Bác Tâm gửi ngân hàng 200 triệu đồng theo hình thức lãi kép với lãi suất 8%/năm. Hỏi sau 2 năm tổng số tiền bác Tâm thu về là bao nhiêu? (Số tiền gửi của năm thứ hai bằng tổng số tiền gửi và lãi của năm thứ nhất).

Câu 3

4,0 điểm

1)
Tìm dư của đa thức $f(x)$ khi chia cho đa thức $x^2 + x - 2$ , biết rằng $f(x)$ chia cho $x - 1$ dư 2 và $f(x)$ chia cho $x + 2$ dư 3.
2)
Cho hai số nguyên x, y thỏa mãn $x^2 + y^2 + 1 = 2(xy + x + y)$ . Chứng minh rằng x và y là hai số chính phương liên tiếp.

Câu 4

6,0 điểm

1)
Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường phân giác AD $(D \in BC)$ . Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của D lên AB và AC.
1. a)
  Chứng minh tứ giác AEDF là hình vuông và $\frac{BE}{CF} = \frac{AB^2}{AC^2}$ .
2. b)
  Cho $AB = 3\text{cm}, AC = 4\text{cm}$ . Tính độ dài đoạn thẳng AD.
2)
Cho tứ giác ABCD $(AC > CD)$ . Lấy điểm M, P theo thứ tự trên đoạn thẳng AB, AC sao cho $\frac{AM}{AB} = \frac{CP}{CD}$ . Trên tia CA lấy điểm K sao cho $CK = CD$ . Chứng minh rằng khi M di động trên AB và P di động trên AC thỏa mãn giả thiết bài toán thì trung điểm I của đoạn thẳng MP luôn chạy trên một đường thẳng cố định.

Câu 5

1,0 điểm

Cho 19 điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng và nằm trong tam giác đều có diện tích bằng 1. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một tam giác có ba đỉnh là ba điểm trong 19 điểm đã cho có diện tích nhỏ hơn $\frac{1}{9}$ .