Đề khảo sát học sinh giỏi Toán 7 năm 2024 — Phòng GD&ĐT Yên Định, Thanh Hóa

Câu 1

4,0 điểm

1)
Tính bằng cách hợp lí:
1. a)
  $A = \dfrac{2000}{-2024} + \dfrac{4}{24} + \dfrac{-24}{2024} - \dfrac{-5}{7} + \dfrac{20}{24}$
2. b)
  $B = \left(1+\dfrac{1}{3}\right)\left(1+\dfrac{1}{4}\right)\left(1+\dfrac{1}{5}\right) \cdots \left(1+\dfrac{1}{2024}\right)$
2)
Tìm x, y biết: $(2|x|-6)^{2024} + |x^{2}-3y-12| \le 0$

Câu 2

4,0 điểm

1)
Tìm các số x, y, z biết $3x = \dfrac{y}{4} = \dfrac{z}{5}$ và $9x^{2} - y^{2} + 3z^{2} = 60$
2)
Cho đa thức bậc hai: $f(x) = ax^{2} + bx + c$ ( $x$ là ẩn; $a, b, c$ là hệ số). Biết rằng: $f(0) = 2020$ , $f(1) = 2021$ , $f(-1) = 2023$ . Tính $f(2)$ .

Câu 3

4,0 điểm

1)
Cho các số a,b,c,d thỏa mãn: $\overline{abcd}$ chia hết cho 3. Chứng minh rằng: $a^{3} + b^{3} + c^{3} + d^{3}$ cũng chia hết cho 3
2)
Cho a, b là hai số tự nhiên khác 0. Chứng minh rằng: Nếu a; a+b; a+2b là các số nguyên tố lớn hơn 3 thì b chia hết cho 6.

Câu 5

6,0 điểm

Cho $\triangle ABC$ cân tại A, trên cạnh BC lấy điểm D (D không trùng với B và C), trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho $BD = CE$ , qua D kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt AB tại M, qua E kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt AC tại N.

1)
Chứng minh rằng: $DM = EN$ .
2)
Chứng minh rằng đường thẳng BC cắt MN tại trung điểm I của MN.
3)
Đường thẳng vuông góc với MN tại I cắt tia phân giác của $\widehat{BAC}$ tại O. Chứng minh rằng: $\dfrac{OM^{2}+ON^{2}+MN^{2}}{2} < OM.ON + ON.MN + MN.OM$

Câu 6

2,0 điểm

Chứng tỏ rằng: $P = \left(1+\dfrac{1}{2}\right)\left(1+\dfrac{1}{2^{2}}\right)\left(1+\dfrac{1}{2^{3}}\right) \cdots \left(1+\dfrac{1}{2^{2024}}\right) < 3$