Đề khảo sát chất lượng Toán vào lớp 10 năm 2025–2026 — Phòng GD&ĐT quận Hà Đông, Hà Nội

Thời gian: 120 phút
Số câu: 5 câu
Đáp án: Có đáp án

Câu I

1,5 điểm

1)
Kết quả khảo sát chất lượng môn Toán một lớp 9 của trường THCS A như sau:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Điểm } (x) & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \hline \text{Tần số } (n) & 4 & 6 & 12 & 8 & 8 & 2 \\ \hline \end{array}$
Lập bảng tần số tương đối của mẫu số liệu thống kê đó.
2)
Cho hai túi I và II, mỗi túi chứa 3 tấm thẻ được ghi các số $2; 3; 7$ . Rút ngẫu nhiên từ mỗi túi ra một tấm thẻ và ghép thành số có hai chữ số với chữ số trên tấm thẻ rút từ túi I là chữ số hàng chục. Tính xác suất của các biến cố sau: “Số tạo thành là số nguyên tố”.

Câu II

1,5 điểm

Cho hai biểu thức

A = \frac{4}{\sqrt{x}+6} \text{ và } B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+6} + \frac{1}{\sqrt{x}-6} + \frac{17\sqrt{x}+30}{x-36} \text{ với } x \ge 0, x \ne 36.

1)
Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x = 9$
2)
Rút gọn biểu thức $B$ .
3)
Tìm số nguyên $x$ để biểu thức $M = A.B$ có giá trị nguyên lớn nhất.

Câu III

2,5 điểm

1)
Nhân dịp nghỉ lễ 30/4 - 1/5, một siêu thị điện máy đã giảm giá nhiều mặt hàng để kích cầu mua sắm. Giá niêm yết một tủ lạnh và một máy giặt có tổng số tiền là 25,4 triệu đồng, nhưng trong dịp này giá bán một tủ lạnh giảm $40\%$ và giá bán một máy giặt giảm $25\%$ nên cô Hoa đã mua hai món đồ trên với tổng số tiền là 16,77 triệu đồng. Hỏi giá niêm yết ban đầu của mỗi sản phẩm là bao nhiêu?
2)
Một công nhân dự định làm 72 sản phẩm trong một thời gian đã định. Nhưng thực tế xí nghiệp lại giao 80 sản phẩm. Mặc dù người đó mỗi giờ đã làm thêm một sản phẩm so với dự kiến, nhưng thời gian hoàn thành công việc vẫn chậm so với dự định là 12 phút. Tính số sản phẩm dự kiến làm trong 1 giờ của người đó. Biết mỗi giờ người đó làm không quá 20 sản phẩm. (Giả định rằng số sản phẩm mà công nhân đó làm được trong mỗi giờ là bằng nhau).
3)
Cho phương trình: $x^2 - (m+1)x + m = 0$ (1). Biết rằng phương trình (1) có 2 nghiệm $x_1, x_2$ thỏa mãn $\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2} = 4$ . Tính $x_1^3 + x_2^3$ .

Câu IV

4,0 điểm

1)
Một doanh nghiệp sản xuất vỏ hộp sữa Ông Thọ dạng hình trụ (như hình minh họa bên dưới), có chiều cao bằng $12\text{ cm}$ . Biết thể tích của hộp là $192\pi\text{ cm}^3$ .
1. a)
  Tính bán kính đáy của hình trụ.
2. b)
  Tính số tiền mà doanh nghiệp cần chi để sản xuất $10.000$ vỏ hộp sữa Ông Thọ (kể cả nắp hộp), biết chi phí để sản xuất vỏ hộp đó là $80.000$ đồng/ $\text{m}^2$ (làm tròn kết quả đến hàng nghìn, lấy $\pi \approx 3,14$ ).
2)
Cho đường tròn $(O;R)$ và dây cung $BC$ cố định $(BC < 2R)$ . Điểm $A$ di động trên $(O;R)$ sao cho $\Delta ABC$ có ba góc nhọn và $AB < AC$ . Vẽ đường cao $CD$ của $\Delta ABC$ và đường kính $AM$ . Hạ $CE$ vuông góc với $AM$ tại $E$ , gọi $H$ là trực tâm của $\Delta ABC$ , $BH$ cắt $AC$ tại $K$ .
1. a)
  Chứng minh rằng tứ giác $ADEC$ nội tiếp được một đường tròn.
2. b)
  Chứng minh rằng $\widehat{ABH} = \widehat{DEA}$ ; $DE.BC = DC.BM$ .
3. c)
  Kéo dài $DE$ cắt $BM$ tại $F$ . Chứng minh rằng $DF$ luôn đi qua một điểm cố định và $KF // AM$ .

Câu V

0,5 điểm

Người ta muốn thiết kế một bể cá bằng kính không có nắp với thể tích $72\text{ dm}^3$ và chiều cao là $3\text{ dm}$ , chiều dài $b$ (dm), chiều rộng $a$ (dm). Một vách ngăn (là mặt kính) ở giữa, chia bể cá thành hai ngăn như hình vẽ. Tính $a$ , $b$ để bể cá tốn ít nguyên liệu nhất (tính cả tấm kính ở giữa), coi bề dày các tấm kính như nhau và không ảnh hưởng đến thể tích của bể.

Bể cá bằng kính có vách ngăn ở giữa với chiều dài b dm, chiều rộng a dm và chiều cao 3 dm

HẾT