Đề khảo sát chất lượng Toán vào lớp 10 lần 2 năm 2025–2026 — Trường THPT chuyên Sơn Tây, Hà Nội

Thời gian: 120 phút
Số câu: 5 câu
Đáp án: Có đáp án

Câu I

1,5 điểm

1)
Thống kê thời gian tự học ở nhà của 350 học sinh lớp 9 tại một trường THCS ta được biểu đồ đoạn thẳng biểu diễn tần số tương đối ghép nhóm với các nhóm $[0;1)$ , $[1;2)$ , $[2;3)$ , $[3;4)$ như sau:
Tìm tần số tương đối ghép nhóm và tần số ghép nhóm của nhóm có số học sinh tự học nhiều nhất.
2)
Gieo một đồng xu cân đối đồng chất ba lần liên tiếp. Tính xác suất của biến cố $A$ : “Có ít nhất hai lần xuất hiện mặt ngửa”.

Câu II

1,5 điểm

Cho hai biểu thức: $A = \frac{x - 2}{\sqrt{x}}$ và $B = \frac{2\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} - 2} + \frac{5\sqrt{x} - 6}{4 - x}$ với $x > 0, x \ne 4$ .

1)
Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x = 16$ .
2)
Chứng minh $B = \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2}$ .
3)
Tìm tất cả các giá trị nguyên của $x$ để biểu thức $P = AB$ có giá trị nguyên.

Câu III

2,5 điểm

1)
Trong kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT năm 2024-2025, toàn thị xã Sơn Tây có 1900 thí sinh đỗ vào trường THPT gồm THPT chuyên và THPT không chuyên. Biết rằng trong đó có 61 thí sinh đạt tổng điểm xét tuyển ba môn từ 44,0 điểm trở lên thì trường THPT chuyên đạt tỉ lệ 15% và trường THPT không chuyên đạt tỉ lệ 1%. Hãy tính số thí sinh của thị xã đỗ vào mỗi trường: THPT chuyên và THPT không chuyên trong kỳ thi này.
2)
Năm 2025, nhân kỷ niệm 135 năm ngày sinh của Chủ tịch Hồ Chí Minh, Lan và gia đình vào thăm quê Bác trên một chuyến xe du lịch từ Hà Nội đến Nghệ An cách nhau 336 km trong một thời gian đã định. Đi được 1 giờ 30 phút thì xe nghỉ, nhưng vì thời gian nghỉ quá 30 phút so với dự định nên để đến nơi đúng thời gian đã định, xe phải tăng tốc thêm 7 km mỗi giờ. Tính vận tốc lúc đầu của xe. (Giả định xe đi luôn tuân thủ luật giao thông và đảm bảo an toàn).
3)
Biết rằng phương trình bậc hai $x^2 - mx + 3 = 0$ có một nghiệm là $x = \dfrac{5 - \sqrt{13}}{2}$ và hai nghiệm của phương trình này là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông. Tính cạnh huyền của tam giác vuông đó.

Câu IV

4,0 điểm

1)
Lương Thế Vinh nổi tiếng là thần đồng, học có phương pháp, vừa học vừa lao động, vui chơi giải trí và được mệnh danh là “Trạng Lường”. Trong một lần chơi đá “bóng bưởi” cùng các bạn, bóng bị rơi xuống một cái hố sâu và hẹp, Lương Thế Vinh cùng các bạn dùng nón múc nước đổ xuống hố cho đến khi bóng nổi lên.
1. a)
  Biết nón có đường kính vành nón là $40$ cm và chiều cao là $20$ cm. Tính thể tích của nón.
2. b)
  Để lấy được bóng, Lương Thế Vinh cùng các bạn phải mất $10$ lần đổ nón nước vào hố. Sau khi bóng được lấy lên, mặt nước trong hố cách mặt đất $20$ cm. Tính độ sâu của hố biết hố có dạng hình trụ đường kính $20$ cm và lượng nước dâng lên trong hố sau mỗi lần đổ một nón nước chỉ bằng $60\%$ thể tích của nón. (Giả định lượng nước mỗi lần đổ vào hố là như nhau và trong quá trình đổ nước lấy bóng, lượng nước thấm vào đất là không đáng kể).
  
  (Lấy $\pi \approx 3,14$ và làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
2)
Cho tam giác nhọn $ABC$ $(AB < AC)$ nội tiếp đường tròn $(O)$ và có các đường cao $AD$ , $BE$ , $CF$ cắt nhau tại trực tâm $H$ .
1. a)
  Chứng minh bốn điểm $A$ , $F$ , $D$ , $C$ cùng thuộc một đường tròn.
2. b)
  Gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $BC$ , $K$ là giao điểm của hai đường thẳng $BC$ và $EF$ . Chứng minh $FB$ là tia phân giác của góc $DFK$ và $KD.KM = KE.KF$ .
3. c)
  Chứng minh $MF$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác $KDF$ .

Câu V

0,5 điểm

Bạn Hoa đi dã ngoại đã chuẩn bị một cái bạt hình chữ nhật $ABCD$ có chiều dài $AB = 12$ m và chiều rộng $BC = 5$ m để dựng thành một chiếc lều dạng hình lăng trụ đứng tam giác gồm hai mái lều và đáy lều. Biết hai điểm $E$ và $G$ nằm trên cạnh $AB$ sao cho $AE = EG = x$ (m). Tìm $x$ để thể tích không gian trong lều là lớn nhất.

Hình chữ nhật $ABCD$ với $AE = EG = x$, $AB = 12$ m, $BC = 5$ m và các đường gấp $EF$, $GH$

Mô hình lều dạng hình lăng trụ đứng tam giác với đáy $GEH$ và đỉnh $F$, trong đó $D \equiv C$, $A \equiv B$

HẾT