Đề khảo sát chất lượng Toán 9 năm 2024 — Phòng GD&ĐT huyện Nga Sơn, Thanh Hóa

Câu 1

2,0 điểm

Cho biểu thức: $P = \dfrac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 2} + \dfrac{3}{\sqrt{x} - 2} - \dfrac{12}{x - 4}$ (với $x \geq 0, x \neq 4$ ).

1)
Rút gọn biểu thức $P$ .
2)
Tìm $x$ để $P = \dfrac{2}{3}$ .

Câu 2

2,0 điểm

1)
Cho hàm số $y = ax + b$ có đồ thị là đường thẳng $(d)$ . Tìm $a, b$ biết đường thẳng $(d)$ song song với đường thẳng $y = 2x - 2024$ và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng $3$ .
2)
Giải hệ phương trình: $\begin{cases} x - 2y = 5 \\ 2x + 3y = 3 \end{cases}$

Câu 3

2,0 điểm

1)
Giải phương trình: $3x^{2} + 2x - 5 = 0$
2)
Cho phương trình: $x^{2} - 2(m - 2)x - 2m = 0$ với $m$ là tham số. Tìm các giá trị của $m$ để phương trình có 2 nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn hệ thức: $x_{2} - x_{1} = x_{1}^{2}$ .

Câu 4

3,0 điểm

Cho đường tròn $(O;R)$ , điểm $M$ cố định nằm ngoài $(O)$ . Kẻ hai tiếp tuyến $MA, MB$ với đường tròn $(O)$ ( $A, B$ là tiếp điểm). Qua $M$ kẻ cát tuyến $MCD$ bất kì không đi qua tâm $O$ ( $C$ nằm giữa $M$ và $D$ , $B$ thuộc cung nhỏ $CD$ ). Gọi $K$ là trung điểm của $CD$ .

1)
Chứng minh tứ giác $MAOK$ nội tiếp đường tròn.
2)
Gọi $E$ là giao điểm của tia $BK$ với đường tròn $(O)$ . Chứng minh $AE$ vuông góc với $OK$ .
3)
Tìm vị trí của cát tuyến $MCD$ để diện tích tam giác $MDE$ đạt giá trị lớn nhất.

Câu 5

1,0 điểm

Cho $a, b, c$ là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Q = \frac{3a^{2}}{5a^{2} + (b + c)^{2}} + \frac{3b^{2}}{5b^{2} + (c + a)^{2}} + \frac{3c^{2}}{5c^{2} + (a + b)^{2}}