Đề khảo sát chất lượng Toán 9 tháng 3 năm 2023–2024 — Trường THCS Nghĩa Tân, Hà Nội

Câu I

2,0 điểm

Cho hai biểu thức

A = \frac{x + 7}{\sqrt{x} - 3} \text{ và } B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} + \frac{2}{3 - \sqrt{x}} - \frac{x + 3}{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 3)} \text{ với } x \ge 0; x \ne 9.

2,0 điểm

Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

1)
Một ca nô xuôi dòng trên một khúc sông từ bến A đến bến B dài 90 km, sau đó lại đi ngược dòng đến địa điểm C cách bến B 60 km. Thời gian ca nô ngược dòng ít hơn thời gian ca nô xuôi dòng là 15 phút. Tính vận tốc của ca nô khi dòng nước yên lặng (biết vận tốc của dòng nước là 5 km/h, vận tốc của ca nô khi dòng nước yên lặng nhỏ hơn 50 km/h)
2)
Một hộp sữa dạng hình trụ có đường kính đáy là 8 cm và chiều cao là 12 cm. Tính thể tích của hộp sữa đó (lấy $\pi \approx 3,14$ ).

2,5 điểm

1)
Giải hệ phương trình
$\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{2}{x + 2} + \dfrac{3}{\sqrt{y} - 3} = 7 \\ \dfrac{3}{2 + x} - \dfrac{4}{\sqrt{y} - 3} = 2 \end{array} \right.$
2)
Cho phương trình $x^{2} - (2m + 1)x + m - 2 = 0$ (1).
1. a)
  Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.
2. b)
  Gọi $x_{1}, x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm tất cả giá trị của $m$ để
  $\frac{x_{1}}{x_{2}} + \frac{x_{2}}{x_{1}} = \frac{5}{m - 2}$

3,0 điểm

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC), nội tiếp đường tròn (O), các đường cao BE, CF cắt nhau ở H.

1)
Chứng minh tứ giác BFEC là tứ giác nội tiếp.
2)
Tia EF cắt tia CB tại M. Chứng minh $MF.ME = MB.MC$ .
3)
Tia AH cắt BC tại D. Đường thẳng qua B và song song với AC, cắt tia AD tại P, cắt đoạn thẳng AM tại Q. Chứng minh FC là tia phân giác của góc EFD và $BP = BQ$ .

0,5 điểm

Cho a, b là các số thực thỏa mãn $(a + b - 1)^{2} = ab$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P = a + b + \frac{9}{a + b}$

HẾT