Đề giao lưu kiến thức tuyển sinh lớp 10 môn Toán năm 2023 — Trường THPT Quảng Xương I, Thanh Hóa

Câu I

2,0 điểm

Cho biểu thức: $A = \dfrac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 3} - \dfrac{5}{x + \sqrt{x} - 6} - \dfrac{1}{\sqrt{x} - 2}$ , với $x \geq 0, x \neq 4$ .

1)
Rút gọn biểu thức $A$ .
2)
Tìm $x$ để biểu thức $A = -1$ .

Câu II

2,0 điểm

1)
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho đường thẳng $(d)$ có phương trình $y = (2m + 1)x + m - 1$ ( $m$ là tham số). Tìm $m$ để đường thẳng $(d)$ cắt đường thẳng $(d')$ có phương trình $y = x + 1$ tại điểm thuộc trục tung.
2)
Giải hệ phương trình $\begin{cases} 3x - 2y = 7 \\ 2x + 3y = 9 \end{cases}.$

Câu III

2,0 điểm

1)
Giải phương trình $3x^{2} - 5x + 2 = 0$ .
2)
Cho phương trình $x^{2} - x - m^{2} - 1 = 0$ ( $m$ là tham số). Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm $x_{1}, x_{2}$ (với $x_{1} < x_{2}$ ) thỏa mãn $|2x_{1}x_{2} - x_{1}| + 2m = (2m + 1)x_{2} - 1$ .

Câu IV

3,0 điểm

Cho đường tròn $(O;R)$ có $AB$ là đường kính. Vẽ đường kính $CD$ không trùng với $AB$ . Tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn $(O;R)$ cắt các đường thẳng $BC$ và $BD$ lần lượt tại $E$ và $F$ . Tiếp tuyến tại $D$ của đường tròn $(O;R)$ cắt đường thẳng $AF$ tại $Q$ .

1)
Chứng minh tứ giác $AODQ$ nội tiếp.
2)
Chứng minh $AE.AQ = AB.AO$ .
3)
Biết điểm $C$ di chuyển trên đường tròn $(O;R)$ ( $C$ không trùng với $A$ và $B$ ), khi biểu thức $EB.EC + FB.FD$ đạt giá trị nhỏ nhất, tính số đo góc $\widehat{BAC}$ .

Câu V

1,0 điểm

Cho ba số thực $a, b, c$ không âm và thỏa mãn điều kiện $ac + bc > 0$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S = \sqrt{\dfrac{a}{b + 2c}} + \sqrt{\dfrac{b}{a + 2c}} + \dfrac{c}{a + b}$ .