Đề khảo sát chất lượng Toán 9 năm 2023–2024 — Phòng GD&ĐT Thạch Thất, Hà Nội

Câu I

2,0 điểm

Cho hai biểu thức:

$A = \frac{\sqrt{x} + 5}{\sqrt{x} - 3} \text{ và } B = \frac{4}{\sqrt{x} + 3} + \frac{2x - \sqrt{x} - 13}{x - 9} - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} \text{ với } x \ge 0; x \ne 9$

1)
Tính giá trị của biểu thức A khi $x = 4$
2)
Đặt $P = \dfrac{B}{A}$ . Chứng minh $P = \dfrac{\sqrt{x} - 5}{\sqrt{x} + 3}$
3)
Tìm giá trị nguyên nhỏ nhất của $x$ để P nhận giá trị nguyên

Câu II

2,0 điểm

1)
Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 36 km. Khi đi từ B trở về A, người đó tăng vận tốc thêm 3 km/h, vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi là 36 phút. Tính vận tốc của người đi xe đạp khi đi từ A đến B.
2)
Bóng đèn huỳnh quang dài 1,2 mét được xem như là một hình trụ với đường kính đáy bằng 4 cm. Tính thể tích lượng khí chứa bên trong bóng đèn (độ dày của lớp vỏ thủy tinh xem như không đáng kể, lấy $\pi \approx 3,14$ ).

Câu III

2,0 điểm

1)
Giải hệ phương trình sau:
$\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{2}{\sqrt{x - 2}} + 3\cdot\sqrt{y + 3} = 13 \\ \dfrac{2}{\sqrt{x - 2}} + \sqrt{y + 3} = 5 \end{array} \right.$
2)
Cho phương trình: $x^{2} + mx + m - 1 = 0$ (1) với $x$ là ẩn, $m$ là tham số.
1. a)
  Chứng tỏ phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của $m$ .
2. b)
  Gọi $x_{1}, x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình (1). Tính giá trị của biểu thức:
  $A = (x_{1} + 1)^{2}(x_{2} + 1)^{2} + 2024$

Câu IV

3,5 điểm

Cho đường tròn $(O)$ và dây cung $BC$ cố định không đi qua $O$ . Lấy điểm $A$ di động trên cung lớn $BC$ sao cho $AB < AC$ và $\Delta ABC$ nhọn. Các đường cao $BE, CF$ của $\Delta ABC$ cắt nhau tại $H$ . Gọi $K$ là giao điểm của $EF$ và $BC$ .

1)
Chứng minh tứ giác $BCEF$ nội tiếp.
2)
Chứng minh $KB.KC = KE.KF$ .
3)
Gọi $M$ là giao điểm của $AK$ với đường tròn $(O)$ ( $M$ khác $A$ ). Chứng minh $KE.KF = KA.KM$ và $MH$ vuông góc với $AK$ .

Câu V

0,5 điểm

Cho 2 số thực dương $a, b$ .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P = \frac{a + b}{\sqrt{ab}} + \frac{\sqrt{ab}}{a + b}$