Đề khảo sát chất lượng Toán 9 năm 2024 — Phòng GD&ĐT Hoàn Kiếm, Hà Nội

Câu I

2,0 điểm

Cho hai biểu thức $A = \dfrac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}}$ và $B = \dfrac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1} + \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} - \dfrac{x + 1}{x - 1}$ với $x > 0; x \neq 1$

1)
Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x = 16$ .
2)
Rút gọn biểu thức $B$ .
3)
Xét biểu thức $P = A.B$ . Tìm tất cả giá trị của $x$ sao cho $P$ nhận giá trị nguyên.

Câu II

2,0 điểm

1)
Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Hai đội công nhân làm chung một công việc thì làm xong sau 20 ngày. Nếu mỗi đội làm riêng thì đội thứ hai cần nhiều hơn đội thứ nhất 9 ngày thì mới xong công việc đó. Hỏi nếu làm riêng, mỗi đội làm xong công việc đó sau bao nhiêu ngày?
2)
Một quả địa cầu hành chính có đường kính bằng $33\text{ cm}$ . Tính thể tích của quả địa cầu, lấy $\pi \approx 3,14$ .

Câu III

2,5 điểm

1)
Giải hệ phương trình:
$\begin{cases} \sqrt{x} + \dfrac{2}{y + 1} = 5 \\ 3\sqrt{x} - \dfrac{1}{y + 1} = 1 \end{cases}$
2)
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho parabol $(P): y = x^2$ và đường thẳng $(d): y = (m + 2)x - 3m + 3$ ( $m$ là tham số).
1. a)
  Với $m \neq 4$ , chứng minh đường thẳng $(d)$ cắt parabol $(P)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1; x_2$ .
2. b)
  Tìm tất cả giá trị của $m$ để $x_1; x_2$ là độ dài hai đường chéo của một hình thoi có độ dài cạnh là $\dfrac{\sqrt{13}}{2}$ .

Câu IV

3,0 điểm

Cho đường tròn $(O; R)$ và một điểm $M$ nằm ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến $MA, MB$ với đường tròn $(O; R)$ ( $A, B$ là các tiếp điểm). Vẽ đường kính $AD$ , tiếp tuyến tại điểm $D$ của $(O; R)$ cắt đường thẳng $AB$ tại $C$ .

1)
Chứng minh bốn điểm $M, A, O, B$ thuộc một đường tròn;
2)
Chứng minh $AB.AC = 4R^2$ ;
3)
Đường thẳng $MB$ cắt đường thẳng $CD$ tại điểm $I$ .
1. a)
  Chứng minh $AD$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác $MOI$ ;
2. b)
  Chứng minh $MD \perp OC$ .

Câu V

0,5 điểm

Với các số thực dương $x, y$ thỏa mãn $x^2 + 2y^2 + 2xy - 6y \leq 7$ .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = x - y + \dfrac{3}{x} + \dfrac{9}{y}$ .