Đề khảo sát chất lượng Toán 9 năm 2024 — Phòng GD&ĐT Cầu Giấy, Hà Nội

Câu I

2,0 điểm

Cho hai biểu thức $A = 5\left(\sqrt{x} + 2\right)$ và $B = \dfrac{4}{\sqrt{x} - 2} + \dfrac{\sqrt{x} - 18}{x - 4}$ với $x \ge 0, x \ne 4$ .

1)
Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x = \dfrac{1}{4}$ .
2)
Chứng minh $B = \dfrac{5}{\sqrt{x} + 2}$ .
3)
Đặt $M = A : B + 1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của $M$ .

Câu II

2,0 điểm

1)
Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi bằng $82m$ . Nếu tăng chiều dài thêm $5m$ và tăng chiều rộng lên 2 lần thì diện tích của mảnh đất lúc sau tăng thêm $560m^2$ . Tính các kích thước của mảnh đất hình chữ nhật đó lúc ban đầu.
2)
Bạn Việt làm một mô hình quả địa cầu có dạng hình cầu với đường kính là $16cm$ . Bạn dùng màu xanh dương để tô màu cho các vùng địa hình là nước gồm biển, hồ, sông ngòi... Biết địa hình là nước chiếm $70\%$ bề mặt quả địa cầu, tính diện tích phần được tô màu xanh dương. (Lấy $\pi \approx 3,14$ )

Câu III

2,5 điểm

1)
Giải hệ phương trình:
$\begin{cases} (x + 2) - \dfrac{5}{\sqrt{y + 1}} = 2 \\ 2(x + 2) + \dfrac{5}{\sqrt{y + 1}} = 7 \end{cases}$
2)
Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho đường thẳng $(d): y = (2m + 1)x - m$ và parabol $(P): y = x^2$ .
1. a)
  Chứng minh $(d)$ luôn cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của $m$ .
2. b)
  Gọi $x_1, x_2$ là hoành độ các giao điểm của $(d)$ và $(P)$ . Tìm $m$ để $\sqrt{x_1 x_2} - x_2 = x_1 - 4$ .

Câu IV

3,0 điểm

Cho đường tròn $(O, R)$ và dây $BC$ cố định không đi qua tâm. Trên tia đối của tia $CB$ lấy điểm $A$ . Từ $A$ kẻ tiếp tuyến $AM$ và $AN$ của $(O)$ ( $M, N$ là tiếp điểm, $M$ thuộc cung lớn $BC$ ). Kẻ $OH$ vuông góc với $BC$ tại $H$ .

1)
Chứng minh bốn điểm $A, M, O, H$ cùng thuộc một đường tròn.
2)
Gọi $K$ là giao điểm của $OA$ và $MN$ . Chứng minh $OK.OA = R^2$ và $\widehat{OBK} = \widehat{OAB}$ .
3)
Tia $BK$ cắt $AM$ tại $I$ . Chứng minh $KA$ là tia phân giác của $\widehat{IKC}$ .

Câu V

0,5 điểm

Cho hai số thực $x, y$ thỏa mãn $x^2 + y^2 = 3 - 2y$ . Chứng minh $2(x + y) + y^2 \ge -5$ .