Đề khảo sát chất lượng Toán 9 năm 2024 — Phòng GD&ĐT Ba Đình, Hà Nội

Câu I

2,0 điểm

Cho hai biểu thức $A = \dfrac{2\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} + 2}$ và $B = \dfrac{x + 16}{x - 4} - \dfrac{5}{\sqrt{x} - 2}$ với $x \ge 0; x \neq 4; x \neq 9$ .

1)
Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x = 1$ .
2)
Chứng minh: $B = \dfrac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} + 2}$ .
3)
Cho $P = A : B$ . Tìm tất cả các giá trị của $x$ để $P \ge 1$ .

Câu II

2,0 điểm

1)
Giải toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Để trang trí cho gian hàng hội chợ xuân, một lớp học dự định gấp 600 con hạc giấy trong một thời gian đã định. Thực tế các bạn nam đã làm vượt mức 18%, các bạn nữ đã làm vượt mức 21%. Vì vậy trong thời gian quy định họ đã hoàn thành vượt mức 120 con hạc giấy. Hỏi số hạc giấy mỗi đội nam, nữ của lớp phải làm theo kế hoạch?
2)
Một lọ hoa hình trụ có đường kính đáy là 22 cm, chiều cao 45 cm. Người ta phủ một lớp men bóng mặt ngoài lọ hoa (không kể đáy). Tính diện tích cần phủ men (lấy $\pi \approx 3,14$ ).

Câu III

2,5 điểm

1)
Giải hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l} 3\sqrt{x+1} - \dfrac{2}{y-2} = 4 \\ 2\sqrt{x+1} + \dfrac{1}{y-2} = 5 \end{array} \right.$
2)
Trên mặt phẳng tọa độ cho parabol (P): $y = x^{2}$ và đường thẳng (d): $y = (1 - m)x + 4$ .
1. a)
  Chứng minh rằng đường thẳng (d) và parabol (P) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
2. b)
  Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt $A(x_{1}; y_{1})$ ; $B(x_{2}; y_{2})$ sao cho:
  
  $y_{1} + y_{2} = 3(x_{1} + x_{2}) + 12.$

Câu IV

3,0 điểm

Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn $(AB < AC)$ , nội tiếp đường tròn $(O)$ và các đường cao $AD, BE, CF$ của tam giác cắt nhau tại điểm $H$ .

1)
Chứng minh tứ giác $BCEF$ là tứ giác nội tiếp.
2)
Kẻ đường kính $AK$ của đường tròn $(O)$ . Chứng minh $\widehat{BAD} = \widehat{KAC}$ .
3)
Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng $BC$ và $EF$ . Hai đường thẳng $AN$ và $OM$ cắt nhau tại điểm $I$ . Chứng minh tam giác $ANF$ đồng dạng với tam giác $AMC$ và $IB$ là tiếp tuyến của $(O)$ .

Câu V

0,5 điểm

Với các số thực $a, b, c$ thỏa mãn $a \ge -1; b \ge -1; c \ge -1$ và $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 9$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $Q = a^{3} + b^{3} + c^{3}$ .