Đề khảo sát chất lượng Toán 9 năm 2023–2024 — Phòng GD&ĐT quận Hai Bà Trưng, Hà Nội

Câu I

2,0 điểm

Cho hai biểu thức $A = \dfrac{\sqrt{x} + 2}{9}$ và $B = \left(\dfrac{3\sqrt{x} - 6}{x - 4} + \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2}\right) : \dfrac{x - 9}{\sqrt{x} - 3}$ với $x \ge 0; x \neq 4; x \neq 9$ .

1)
Tính giá trị của biểu thức A khi $x = 1$ .
2)
Chứng minh $B = \dfrac{1}{\sqrt{x} + 2}$ .
3)
Tìm các giá trị của $x$ thỏa mãn $A + B = \dfrac{2}{3}$ .

Câu II

2,0 điểm

1)
Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Trong lễ diễu binh, diễu hành kỷ niệm 70 năm Chiến thắng Điện Biên Phủ có sự tham gia của lực lượng Pháo lễ và lực lượng Không quân. Số lượng khẩu pháo chính thức nhiều hơn số lượng máy bay trực thăng chính thức là 6. Mỗi khẩu pháo cần 3 đồng chí pháo thủ tham gia điều khiển, mỗi máy bay trực thăng cần 5 đồng chí phi công tham gia điều khiển. Biết rằng tổng số lượng chiến sĩ tham gia hoạt động diễu hành là 90 đồng chí.

Tính số lượng khẩu pháo và máy bay trực thăng chính thức tham gia lễ diễu binh diễu hành.
2)
Một hình trụ có diện tích toàn phần gấp 2 lần diện tích xung quanh. Tính thể tích hình trụ, biết rằng bán kính đáy bằng $5$ cm.

Câu III

2,5 điểm

1)
Giải hệ phương trình sau:
$\begin{cases} |x| + \dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{y} - 2} = 5 \\ |x| - \dfrac{1}{\sqrt{y} - 2} = 1 \end{cases}.$
2)
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho parabol $(P)$ $y = x^{2}$ và đường thẳng $(d)$ $y = 2x + m$ với $m$ là tham số.
1. a)
  Tìm $m$ để đường thẳng $(d)$ cắt parabol $(P)$ tại hai điểm phân biệt.
2. b)
  Gọi $x_{1}; x_{2}$ lần lượt là các hoành độ giao điểm của đường thẳng $(d)$ và parabol $(P)$ . Tìm các giá trị của tham số $m$ để $x_{1}; x_{2}$ thỏa mãn $(x_{1} + 1)^{2} + (x_{2} - 1)^{2} = 4$ .

Câu IV

3,0 điểm

Cho đường tròn $(O)$ đường kính $AB = 2R$ . Vẽ đường thẳng $d$ là tiếp tuyến với đường tròn $(O)$ tại $B$ . Trên cung $\overparen{AB}$ lấy điểm $M$ tùy ý ( $M$ khác $A$ và khác $B$ ), tia $AM$ cắt đường thẳng $d$ tại $N$ . Qua trung điểm $C$ của dây cung $AM$ nối $CO$ cắt đường thẳng $d$ tại $D$ .

a)
Chứng minh tứ giác $BOCN$ nội tiếp được một đường tròn.
b)
Chứng minh $ON$ vuông góc với $AD$ và $CA.CN = CO.CD$ .
c)
Xác định vị trí điểm $M$ để $P = 2AM + AN$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu V

0,5 điểm

Cho hai số thực dương $a$ và $b$ thỏa mãn $a + b \ge 2$ .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \dfrac{a^{2}}{a + 1} + \dfrac{b^{2}}{b + 1}$ .