Đề khảo sát chất lượng Toán 9 năm 2023–2024 — Phòng GD&ĐT huyện Nam Sách, Hải Dương

Câu 1

2,0 điểm

Giải phương trình và hệ phương trình sau:

2,0 điểm

1)
Rút gọn biểu thức: $A = \left(\dfrac{1}{x - \sqrt{x}} + \dfrac{1}{\sqrt{x} - 1}\right) : \dfrac{\sqrt{x}}{x - 2\sqrt{x} + 1} - 1$ (với $x > 0, x \ne 1$ )
2)
Cho hàm số $y = (2 - a)x + a^2$ . Tìm $a$ để hàm số nghịch biến và có đồ thị cắt đường thẳng $y = x + 5$ tại điểm có tung độ bằng $7$ .

2,0 điểm

1)
Bác An gửi tiết kiệm $100$ triệu đồng vào ngân hàng với hạn một năm. Sau năm thứ nhất do chưa có nhu cầu sử dụng nên bác An không rút ra mà tiếp tục gửi một năm nữa. Ngân hàng đã gộp tiền gốc, tiền lãi của năm thứ nhất thành tiền gốc của năm thứ hai. Lãi suất năm thứ hai bằng lãi suất năm thứ nhất. Sau hai năm bác An rút tiền ra thì nhận được $108,16$ triệu đồng cả gốc lẫn lãi. Hỏi lãi suất gửi tiết kiệm của ngân hàng là bao nhiêu % một năm?
2)
Cho phương trình: $x^2 - mx + m - 2 = 0$ ( $m$ là tham số)
1. a)
  Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi $m$ .
2. b)
  Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1; x_2$ thoả mãn: $(x_2 - 2)^2 - mx_2 = 4x_1 - m^2$

3,0 điểm

1)
Tàu ngầm đang ở trên mặt biển, lặn xuống theo phương tạo với mặt nước biển một góc $29^\circ$ . Nếu tàu chuyển động theo phương lặn xuống được $300\text{m}$ thì nó ở độ sâu bao nhiêu? Nếu đạt đến độ sâu $250\text{m}$ thì tàu phải chạy bao nhiêu mét? (Các độ dài làm tròn đến mét)
$Sơ đồ mô tả tàu ngầm lặn với góc $29^\circ$, quãng đường $300\text{m}$ và độ sâu $250\text{m}$$
2)
Cho tam giác $MNP$ có ba góc nhọn $(MN < MP)$ nội tiếp đường tròn $(O)$ . Hai đường cao $NE$ và $PF$ cắt nhau tại điểm $H$ .
1. a)
  Chứng minh tứ giác $NFEP$ nội tiếp.
2. b)
  Kẻ đường kính $MQ$ của đường tròn. Đường thẳng $MQ$ cắt $NP$ tại điểm $I$ , đường thẳng $EF$ cắt đường thẳng $MH$ tại điểm $K$ . Chứng minh: $\widehat{NMH} = \widehat{QMP}$ và $KI // HQ$ .

1,0 điểm

Cho $x; y; z$ là các số thực dương thỏa mãn $x + y + z = 1$ .

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $P = \dfrac{yz}{\sqrt{x + yz}} + \dfrac{xz}{\sqrt{y + xz}} + \dfrac{xy}{\sqrt{z + xy}}$

HẾT