Đề khảo sát chất lượng Toán 9 lần 5 năm 2024–2025 — Trường THPT chuyên Hà Nội — Amsterdam

Câu I

1,5 điểm

1)
Một cuộc điều tra về thời gian một nhóm học sinh làm một bài kiểm tra trắc nghiệm cho kết quả như sau:
${\def\arraystretch{1.4}\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Thời gian (phút)} & [0;5) & [5;10) & [10;15) & [15,20) \\ \hline \text{Tần số} & 1 & 5 & 9 & 5 \\ \hline \end{array}}$
Cho biết có bao nhiêu học sinh tham gia điều tra và lập bảng tần số tương đối ghép nhóm cho kết quả điều tra.
2)
Một toà nhà chung cư có 30 tầng, các tầng được đánh số lần lượt từ 1 đến 30. Bạn Bình vào thang máy ở tầng 1, bấm chọn ngẫu nhiên số của một tầng để đi lên. Tính xác suất của biến cố $A$ : “Bình đi lên tầng có số là một số nguyên tố”.

Câu II

1,5 điểm

Cho hai biểu thức $A = \dfrac{x}{\sqrt{x} - 3}$ và $B = \dfrac{2x - 3}{x - 3\sqrt{x}} - \dfrac{1}{\sqrt{x}}$ với $x > 0, x \neq 9$ .

1)
Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x = 16$ .
2)
Chứng minh $B = \dfrac{2\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - 3}$ .
3)
Tìm tất cả giá trị của $x$ để $A - B < 0$ .

Câu III

2,5 điểm

1)
Một công ty cần giao những kiện hàng đến địa điểm cách công ty 42km. Công ty này đã thuê một đơn vị vận tải chở số hàng này đi giao. Cho biết bảng giá vận tải như hình bên. Hãy tính số tiền công ty phải trả khi thuê một xe 1,4 tấn để vận chuyển hàng.
Bảng giá vận tải
${\def\arraystretch{1.4}\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Loại Xe} & \text{4 km đầu tiên (đồng)} & \text{Km thứ 5 đến km thứ 40 (đồng/1 km)} & \text{Từ km thứ 40 trở đi (đồng/1 km)} \\ \hline \text{Xe 500 kg} & 300.000 \text{ đ} & 18.000 \text{ đ} & 12.000 \text{ đ} \\ \hline \text{Xe 750 kg} & 400.000 \text{ đ} & 19.000 \text{ đ} & 13.000 \text{ đ} \\ \hline \text{Xe 1 tấn} & 600.000 \text{ đ} & 22.000 \text{ đ} & 16.000 \text{ đ} \\ \hline \text{Xe 1,4 tấn} & 700.000 \text{ đ} & 23.000 \text{ đ} & 17.000 \text{ đ} \\ \hline \end{array}}$
2)
Theo kế hoạch, một đội sản xuất dự định làm 75 sản phẩm trong một số ngày. Trên thực tế, do cải tiến về cách tổ chức nên mỗi ngày đội làm được nhiều hơn 5 sản phẩm so với kế hoạch. Vì vậy đội đã hoàn thành công việc sớm hơn 1 ngày và làm được thêm 5 sản phẩm. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày đội sản xuất phải làm bao nhiêu sản phẩm?
3)
Cho phương trình $x^2 - 5x + 3 = 0$ . Gọi $x_1, x_2$ là hai nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức $A = \sqrt{9x_1 + 1} + \sqrt{11x_2 + 6} - 10$ .

Câu 4

4,0 điểm

1)
Bạn An đi mua một cây lăn sơn có dạng một khối trụ với bán kính đáy là $5$ cm và chiều cao là $23$ cm. Nhà sản xuất cho biết sau khi lăn $1000$ vòng thì cây sơn tường có thể bị hỏng. Hỏi bạn An cần mua ít nhất mấy cây lăn sơn tường biết diện tích tường cần sơn là $3.100$ cm $^2$ (cho $\pi = 3,14$ ).
2)
Cho nửa đường tròn $(O)$ đường kính $AB = 2R$ , $C$ là điểm bất kì nằm trên nửa đường tròn sao cho $C$ khác $A$ và $AC < CB$ . Điểm $D$ thuộc cung nhỏ $BC$ sao cho $\angle COD$ vuông. Gọi $E$ là giao điểm của $AD$ và $BC$ , $F$ là giao điểm của $AC$ và $BD$ , $I$ là trung điểm của $EF$ .
1. a)
  Chứng minh: $CEDF$ là tứ giác nội tiếp.
2. b)
  Chứng minh: $FC.FA = FD.FB$ và $IC$ là tiếp tuyến của $(O)$ .
3. c)
  Khi điểm $C$ thay đổi thoả mãn điều kiện bài toán thì điểm $E$ di chuyển trên một đường tròn cố định, hãy xác định tâm và tính bán kính của đường tròn đó theo $R$ .

Câu 5

0,5 điểm

Trên một khu vườn hình vuông $ABCD$ có diện tích là $100\text{m}^2$ , người ta xác định phần diện tích trồng hoa như sau: Lấy một điểm $H$ trên đường chéo $AC$ , dựng hình chiếu của $H$ trên $AB$ và $BC$ lần lượt là $M$ và $N$ . Phần diện tích trồng hoa là tam giác $DMN$ . Hỏi điểm $H$ nằm vị trí nào trên $AC$ thì diện tích trồng hoa sẽ là nhỏ nhất. Và diện tích đó bằng bao nhiêu?