Đề khảo sát chất lượng Toán 9 lần 2 năm 2023–2024 — Phòng GD&ĐT Hà Trung, Thanh Hóa

Câu 1

2,0 điểm

a)
Giải hệ phương trình: $\begin{cases} 3x + 2y = 8 \\ 2x - y = 3 \end{cases}$
b)
Cho hai hàm số $(P): y = x^2$ và $(d): y = -2x - m + 3$ với $m$ là tham số. Tìm $m$ để đường thẳng $(d)$ đi qua điểm $A$ thuộc $(P)$ có hoành độ bằng $2$ .

Câu 2

2,0 điểm

Cho biểu thức: $P = \left(\dfrac{1}{x - \sqrt{x}} + \dfrac{1}{\sqrt{x} - 1}\right) : \dfrac{\sqrt{x}}{x - 2\sqrt{x} + 1}$ (với $x > 0, x \neq 1$ )

a)
Rút gọn biểu thức $P$ .
b)
Tìm các giá trị của $x$ để $P > \dfrac{1}{2}$ .

Câu 3

2,0 điểm

Cho phương trình $x^2 + (m + 2)x + m - 1 = 0$ với $m$ là tham số

a)
Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của $m$
b)
Gọi $x_1; x_2$ là hai nghiệm phân biệt của phương trình. Tìm $m$ để $x_1^2 - x_1 + x_2^2 - x_2 = 6$

Câu 4

3,0 điểm

Cho tam giác $ABC$ $(AB < AC)$ nội tiếp đường tròn tâm $O$ . $M$ là điểm nằm trên cung $BC$ không chứa điểm $A$ . Gọi $D, E, F$ lần lượt là hình chiếu của $M$ trên $BC, CA, AB$ .

a)
Chứng minh bốn điểm $M, B, D, F$ cùng thuộc một đường tròn
b)
Chứng minh $D, E, F$ thẳng hàng.
c)
Chứng minh $\dfrac{BC}{MD} = \dfrac{AC}{ME} + \dfrac{AB}{MF}$ .

Câu 5

1,0 điểm

Cho $a, b, c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng

\frac{a^2}{5a^2 + (b + c)^2} + \frac{b^2}{5b^2 + (c + a)^2} + \frac{c^2}{5c^2 + (a + b)^2} \le \frac{1}{3}.