Đề khảo sát chất lượng Toán 12 năm 2023–2024 — Sở GD&ĐT Hà Nội

Câu 1

Hàm số nào dưới đây có bảng biến thiên như sau?

Bảng biến thiên của hàm số f(x): f′(x) < 0 trên (−∞; 1); f′(x) không xác định tại x = 1; f′(x) < 0 trên (1; +∞). Hàm số f nghịch biến trên (−∞; 1) và (1; +∞).

A
$\displaystyle y = x^3 - 2x^2 +1$
B
$\displaystyle y = \dfrac{-x+1}{x}$
C
$\displaystyle y = -x^4 + x^2 -1$
D
$\displaystyle y = \dfrac{-x+2}{x-1}$

Câu 2

Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(\alpha): 3x - y + 4z - 2 = 0$ . Véctơ nào dưới đây là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ ?

A
$\displaystyle \overrightarrow{n_3} = (3;1;4)$
B
$\displaystyle \overrightarrow{n_2} = (3;4;-1)$
C
$\displaystyle \overrightarrow{n_1} = (3;4;-2)$
D
$\displaystyle \overrightarrow{n_4} = (3;-1;4)$

Câu 3

Với $a$ là số thực dương tùy ý, $\log_5 a^4$ bằng

A
$\displaystyle 4\log_5 a$
B
$\displaystyle \dfrac{5}{4}\log_5 a$
C
$\displaystyle \dfrac{4}{5}\log_5 a$
D
$\displaystyle \dfrac{1}{4}\log_5 a$

Câu 4

Cho hàm số bậc bốn $y = f(x)$ có đồ thị là đường cong trong hình vẽ. Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?

A
$\displaystyle 2$
B
$\displaystyle 3$
C
$\displaystyle 1$
D
$\displaystyle 0$

Câu 5

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Bảng biến thiên của hàm số f(x): f′(x) > 0 trên (−∞; −1); f′(x) = 0 tại x = −1; f′(x) < 0 trên (−1; 0); f′(x) = 0 tại x = 0; f′(x) > 0 trên (0; 1); f′(x) = 0 tại x = 1; f′(x) < 0 trên (1; +∞). Hàm số f đồng biến trên (−∞; −1) và (0; 1), nghịch biến trên (−1; 0) và (1; +∞), đạt cực đại tại x = −1 với f(−1) = 2, đạt cực tiểu tại x = 0 với f(0) = 1, đạt cực đại tại x = 1 với f(1) = 2.

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A
$\displaystyle (0;1)$
B
$\displaystyle (-1;1)$
C
$\displaystyle (-\infty;-1)$
D
$\displaystyle (1;+\infty)$

Câu 6

Trong không gian $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{OM} = 3\vec{i} - 2\vec{j} + \vec{k}$ . Điểm $M$ có tọa độ là

A
$\displaystyle (1;-2;3)$
B
$\displaystyle (3;-2;1)$
C
$\displaystyle (1;3;-2)$
D
$\displaystyle (3;2;1)$

Câu 7

Nghiệm của phương trình $\log_3 x = 2$ là

A
$\displaystyle x = 5$
B
$\displaystyle x = 6$
C
$\displaystyle x = 8$
D
$\displaystyle x = 9$

Câu 8

Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S): (x+1)^2 + (y-2)^2 + (z+1)^2 = 36$ . Tọa độ tâm $I$ của mặt cầu $(S)$ là

A
$\displaystyle (-1;-2;-1)$
B
$\displaystyle (1;-2;1)$
C
$\displaystyle (-1;2;-1)$
D
$\displaystyle (1;2;1)$

Câu 9

Có bao nhiêu cách chọn ngẫu nhiên 4 học sinh trong một nhóm có 15 học sinh?

A
$\displaystyle 15!$
B
$\displaystyle C_{15}^4$
C
$\displaystyle 4!$
D
$\displaystyle A_{15}^4$

Câu 10

Nếu $\int_0^1 f(x) \mathrm{d}x = 3$ và $\int_1^4 f(x) \mathrm{d}x = 5$ thì $\int_0^4 f(x) \mathrm{d}x$ bằng

A
$\displaystyle 2$
B
$\displaystyle -2$
C
$\displaystyle 8$
D
$\displaystyle 15$

Câu 11

Phương trình $2^x = 8$ có số nghiệm thực là

A
$\displaystyle 0$
B
$\displaystyle 2$
C
$\displaystyle 1$
D
Vô số

Câu 12

Khẳng định nào dưới đây đúng?

A
$\displaystyle \int \cos x \mathrm{d}x = -\sin x + C$
B
$\displaystyle \int \cos x \mathrm{d}x = \dfrac{\cos^2 x}{2} + C$
C
$\displaystyle \int \cos x \mathrm{d}x = \tan x + C$
D
$\displaystyle \int \cos x \mathrm{d}x = \sin x + C$

Câu 13

Khẳng định nào dưới đây đúng?

A
$\displaystyle \int 2^x \mathrm{d}x = \dfrac{2^x}{\ln 2} + C$
B
$\displaystyle \int 2^x \mathrm{d}x = \dfrac{2^{x+1}}{x+1} + C$
C
$\displaystyle \int 2^x \mathrm{d}x = 2^x + C$
D
$\displaystyle \int 2^x \mathrm{d}x = 2^x \ln 2 + C$

Câu 14

Cho khối cầu có bán kính bằng $3$ . Thể tích của khối cầu đó bằng

A
$\displaystyle 3\pi$
B
$\displaystyle 12\pi$
C
$\displaystyle 36\pi$
D
$\displaystyle 9\pi$

Câu 15

Một hình trụ có chiều cao bằng $4$ và bán kính đáy bằng $3$ . Diện tích xung quanh của hình trụ đó bằng

A
$\displaystyle 36\pi$
B
$\displaystyle 24\pi$
C
$\displaystyle 8\pi$
D
$\displaystyle 12\pi$

Câu 16

Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào nghịch biến trên $\mathbb{R}$ ?

A
$\displaystyle y = 3^x$
B
$\displaystyle y = (1,5)^x$
C
$\displaystyle y = \left(\dfrac{1}{3}\right)^x$
D
$\displaystyle y = 5^x$

Câu 17

Hình lập phương có bao nhiêu cạnh?

A
$\displaystyle 8$
B
$\displaystyle 12$
C
$\displaystyle 20$
D
$\displaystyle 6$

Câu 18

Cho hàm số bậc ba $y = f(x)$ có đồ thị là đường cong trong hình vẽ. Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng

A
$\displaystyle 1$
B
$\displaystyle -1$
C
$\displaystyle 0$
D
$\displaystyle 3$

Câu 19

Nếu $\int_1^3 f(x) \mathrm{d}x = 5$ và $\int_1^3 g(x) \mathrm{d}x = 4$ thì $\int_1^3 [f(x) + g(x)] \mathrm{d}x$ bằng

A
$\displaystyle 9$
B
$\displaystyle 1$
C
$\displaystyle 20$
D
$\displaystyle 6$

Câu 20

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \dfrac{2x+1}{x-1}$ là đường thẳng có phương trình

A
$\displaystyle y = -1$
B
$\displaystyle y = 1$
C
$\displaystyle y = -2$
D
$\displaystyle y = 2$

Câu 21

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[0;2]$ . Gọi $D$ là hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = 0, x = 2$ . Diện tích $S$ của $D$ được tính bởi công thức

A
$\displaystyle S = \int_0^2 |f(x)| \mathrm{d}x$
B
$\displaystyle S = \int_0^2 [f(x)]^2 \mathrm{d}x$
C
$\displaystyle S = \pi \int_0^2 [f(x)]^2 \mathrm{d}x$
D
$\displaystyle S = \pi \int_0^2 |f(x)| \mathrm{d}x$

Câu 22

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(0;1;2)$ và $B(-2;1;3)$ . Tọa độ của véctơ $\overrightarrow{AB}$ là

A
$\displaystyle (-2;0;1)$
B
$\displaystyle (2;0;1)$
C
$\displaystyle (-2;0;-1)$
D
$\displaystyle (-2;2;5)$

Câu 23

Cho cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1$ và công bội $q$ với $q \neq 1$ . Tổng $n$ số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó được tính theo công thức

A
$\displaystyle S_n = q \cdot \dfrac{1-u_1^n}{1-u_1}$
B
$\displaystyle S_n = u_1 \cdot \dfrac{1-q^n}{1-q}$
C
$\displaystyle S_n = \dfrac{u_1}{1-q}$
D
$\displaystyle S_n = u_1 \cdot q^{n-1}$

Câu 24

Hàm số nào dưới đây có đồ thị như đường cong trong hình vẽ?

đồ thị hàm logarit trong Câu 24

A
$\displaystyle y = \log_{\frac{2}{5}} x$
B
$\displaystyle y = \log_2 x$
C
$\displaystyle y = \log_{\frac{1}{3}} x$
D
$\displaystyle y = \log_{\frac{1}{2}} x$

Câu 25

Hàm số nào dưới đây có đồ thị như đường cong trong hình vẽ?

đồ thị hàm số trong Câu 25

A
$\displaystyle y = x^3 + 2x^2 - x - 1$
B
$\displaystyle y = -x^3 + 2x^2 - x - 1$
C
$\displaystyle y = x^4 + 2x^2 - 1$
D
$\displaystyle y = -x^4 + x^2 - 1$

Câu 26

Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{2024}(x-1) < 0$ là

A
$\displaystyle (1;2)$
B
$\displaystyle (1;+\infty)$
C
$\displaystyle (-\infty;2)$
D
$\displaystyle (2;+\infty)$

Câu 27

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = x^3 + x$ trên đoạn $[-1;3]$ bằng

A
$\displaystyle -5$
B
$\displaystyle 0$
C
$\displaystyle -2$
D
$\displaystyle -1$

Câu 28

Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $M(-1;3;4)$ và mặt phẳng $(P): x - y - z + 1 = 0$ . Phương trình mặt phẳng đi qua $M$ và song song với mặt phẳng $(P)$ là

A
$\displaystyle x - y - z = 0$
B
$\displaystyle x + y - z + 2 = 0$
C
$\displaystyle x + y - z = 0$
D
$\displaystyle x - y - z + 8 = 0$

Câu 29

Đạo hàm của hàm số $y = 2^{x+1}$ là

A
$\displaystyle y' = 2^{x+1} \ln 2$
B
$\displaystyle y' = (x+1) \cdot 2^x$
C
$\displaystyle y' = \dfrac{2^{x+1}}{\ln 2}$
D
$\displaystyle y' = 2^x \ln 2$

Câu 30

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x^2 - 3$ và đường thẳng $y = 2x$ bằng

A
$\displaystyle \dfrac{40}{3}$
B
$\displaystyle \dfrac{88}{3}$
C
$\displaystyle \dfrac{16}{3}$
D
$\displaystyle \dfrac{32}{3}$

Câu 31

Một chiếc hộp có chứa 19 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 19. Lấy ngẫu nhiên cùng lúc hai tấm thẻ trong hộp. Xác suất để lấy được hai tấm thẻ cùng mang số lẻ bằng

A
$\displaystyle \dfrac{4}{19}$
B
$\displaystyle \dfrac{14}{19}$
C
$\displaystyle \dfrac{15}{19}$
D
$\displaystyle \dfrac{5}{19}$

Câu 32

Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = \dfrac{2}{x+2}$ trên khoảng $(-2;+\infty)$ và $F(-1) = 0$ . Khi đó $F(2)$ bằng

A
$\displaystyle 4 \ln 2$
B
$\displaystyle 4 \ln 2 + 1$
C
$\displaystyle 2 \ln 3 + 2$
D
$\displaystyle 3 \ln 2 + 1$

Câu 33

Cho khối lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$ có cạnh đáy bằng $3$ và $AB' = 5$ . Thể tích của khối lăng trụ đó bằng

A
$\displaystyle 9\sqrt{3}$
B
$\displaystyle 3\sqrt{3}$
C
$\displaystyle 18\sqrt{3}$
D
$\displaystyle 6\sqrt{3}$

Câu 34

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng xét dấu của $f'(x)$ như sau:

Bảng xét dấu: f′(x) > 0 trên (−∞; −2); f′(x) = 0 tại x = −2; f′(x) < 0 trên (−2; 0); f′(x) không xác định tại x = 0; f′(x) > 0 trên (0; 1); f′(x) = 0 tại x = 1; f′(x) < 0 trên (1; 3); f′(x) = 0 tại x = 3; f′(x) < 0 trên (3; +∞).

Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là

A
$\displaystyle 3$
B
$\displaystyle 1$
C
$\displaystyle 0$
D
$\displaystyle 2$

Câu 35

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $(P): x - 3y + 2z - 5 = 0$ và $(Q): 3x - (m+2)y + (2m-1)z = 0$ với $m$ là tham số thực. Hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ vuông góc với nhau khi

A
$\displaystyle m = 0$
B
$\displaystyle m = -2$
C
$\displaystyle m = -1$
D
$\displaystyle m = 5$

Câu 36

Với $x$ là số thực dương tùy ý, biểu thức $x^{\frac{9}{4}}.x^{\frac{1}{4}}$ bằng

A
$\displaystyle x^{\frac{9}{16}}$
B
$\displaystyle x^{9}$
C
$\displaystyle x^{\frac{5}{2}}$
D
$\displaystyle x^{2}$

Câu 37

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành tâm $O$ (tham khảo hình vẽ). Gọi $M$ là trung điểm của $OD$ . Khoảng cách từ điểm $B$ tới mặt phẳng $(SCD)$ bằng $4$ . Khi đó khoảng cách từ điểm $M$ tới mặt phẳng $(SCD)$ bằng

A
$\displaystyle 4$
B
$\displaystyle 3$
C
$\displaystyle 1$
D
$\displaystyle 2$

Câu 38

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f(x) = x + \int_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d}x$ . Giá trị của $f(2)$ nằm trong khoảng nào sau đây?

A
$\displaystyle (4;5)$
B
$\displaystyle (0;2)$
C
$\displaystyle (3;4)$
D
$\displaystyle (2;3)$

Câu 39

Sau khi uống rượu và điều khiển xe ô tô trên đường, ông A bị xử phạt số tiền $40\,000\,000$ đồng và phải hoàn thành trong thời hạn $10$ ngày kể từ ngày vi phạm. Theo Thông tư số $18/2023/TT-BTC$ của Bộ tài chính ngày $21$ tháng $3$ năm $2023$ , cứ mỗi ngày chậm nộp phạt, cá nhân phải nộp thêm $0,05\%$ trên tổng số tiền phạt chưa nộp. Để số tiền phải nộp thêm do chậm nộp phạt không quá $200\,000$ đồng thì ngày muộn nhất ông A phải đến nộp tiền là ngày thứ bao nhiêu kể từ ngày vi phạm?

A
$\displaystyle 19$
B
$\displaystyle 21$
C
$\displaystyle 22$
D
$\displaystyle 20$

Câu 40

Cho tứ diện $OABC$ có các cạnh $OA, OB, OC$ đôi một vuông góc và $OA = OB = OC = 1$ (tham khảo hình vẽ). Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ ; $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $AM$ và mặt phẳng $(OBC)$ . Khi đó $\tan \alpha$ bằng

A
$\displaystyle \sqrt{2}$
B
$\displaystyle 1$
C
$\displaystyle \dfrac{1}{2}$
D
$\displaystyle \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Câu 41

Cho hàm số bậc ba $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ. Gọi $S_{1}$ và $S_{2}$ lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được gạch chéo. Nếu $S_{1} = \dfrac{16}{3}$ và $S_{2} = \dfrac{5}{6}$ thì $\displaystyle\int_{-1}^{0} f(3x+1) \mathrm{d}x$ bằng

Đồ thị hàm số $y=f(x)$ với hai miền diện tích $S_1$ và $S_2$ được gạch sọc

A
$\displaystyle \frac{9}{2}$
B
$\displaystyle \frac{37}{18}$
C
$\displaystyle \frac{37}{6}$
D
$\displaystyle \frac{3}{2}$

Câu 42

Cho hình chóp $S.ABC$ có cạnh $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ và $SA=6$ . Tam giác $SBC$ có diện tích bằng $15$ và nằm trong mặt phẳng tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng $45^{\circ}$ . Thể tích của khối chóp $S.ABC$ bằng

A
$\displaystyle 15\sqrt{2}$
B
$\displaystyle 30$
C
$\displaystyle 45\sqrt{2}$
D
$\displaystyle 15\sqrt{3}$

Câu 43

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ sao cho ứng với mỗi $m$ , đồ thị hàm số $y=x^{3}+x^{2}-x+m$ có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành?

A
Vô số
B
$\displaystyle 0$
C
$\displaystyle 1$
D
$\displaystyle 2$

Câu 44

Cho hàm số $f(x)=ax^{4}+bx^{2}+c$ với $a \neq 0$ , có đồ thị là đường cong trong hình vẽ. Phương trình $2^{x}f^{2}(x)-(4^{x}+1)f(x)+2^{x}=0$ có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?

A
$\displaystyle 7$
B
$\displaystyle 5$
C
$\displaystyle 6$
D
$\displaystyle 8$

Câu 45

Cho hai hàm số $f(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c$ và $g(x)=x^{2}+mx+n$ có đồ thị lần lượt là các đường cong $(C)$ và $(P)$ như hình vẽ. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\frac{g(x)}{f(x)+3}$ và trục hoành bằng

Đồ thị hai hàm số $f(x)$ và $g(x)$ với đường cong $(C)$ và parabol $(P)$

A
$\displaystyle \frac{1}{3}\ln\frac{3}{2}$
B
$\displaystyle \frac{1}{3}\ln\frac{351}{8}$
C
$\displaystyle 13\ln\frac{3}{2}$
D
$\displaystyle \ln\frac{351}{8}$

Câu 46

Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác cân với $\widehat{ABC}=120^{\circ}$ . Mặt bên $ABB'A'$ là hình thoi có $\widehat{AA'B'}=60^{\circ}$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ bằng $3$ . Độ dài cạnh $AA'$ bằng

A
$\displaystyle 4$
B
$\displaystyle 2$
C
$\displaystyle \sqrt[3]{4}$
D
$\displaystyle 2\sqrt[3]{3}$

Câu 47

Cho nửa lục giác đều $ABCD$ nội tiếp đường tròn đường kính $AD=8$ (tham khảo hình vẽ). Thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay miền tứ giác $ABCD$ quanh đường thẳng $CD$ bằng

Hình vẽ nửa lục giác đều ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD, miền tứ giác ABCD được tô gạch chéo

A
$\displaystyle 28\pi\sqrt{13}$
B
$\displaystyle 112\pi$
C
$\displaystyle 70\pi$
D
$\displaystyle 336\pi$

Câu 48

Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S): x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 2z - 38 = 0$ và hai mặt phẳng $(\alpha): x + 2y - 4 = 0$ ; $(\beta): 3y + z - 5 = 0$ . Xét $(P)$ là mặt phẳng thay đổi, song song với giao tuyến của hai mặt phẳng $(\alpha)$ , $(\beta)$ và tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ . Khoảng cách lớn nhất từ điểm $A(5;-5;6)$ đến mặt phẳng $(P)$ bằng

A
$\displaystyle 3\sqrt{10}$
B
$\displaystyle \sqrt{10}$
C
$\displaystyle 4\sqrt{10}$
D
$\displaystyle 5\sqrt{10}$

Câu 49

Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S): (x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-3)^2 = 25$ và hai điểm $A(-1;2;-2)$ , $B(2;1;-1)$ . Mặt phẳng $(P)$ qua $A$ , $B$ và cắt $(S)$ theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng $\sqrt{7}$ . Phương trình của mặt phẳng $(P)$ là

A
$\displaystyle x + 4y + z + 6 = 0$
B
$\displaystyle x - y - 4z - 5 = 0$
C
$\displaystyle 5x + 13y - 2z - 25 = 0$
D
$\displaystyle 5x + 16y + z + 32 = 0$

Câu 50

Cho hàm số $f(x) = x + \sqrt{x^2+1}$ . Có bao nhiêu giá trị thực của tham số $m$ sao cho ứng với mỗi $m$ , phương trình $f\left(\frac{x-3}{x-2} + \frac{x-2}{x-1}\right) \cdot f\left(\frac{x-1}{x} - m\right) = 1$ có đúng hai nghiệm thực phân biệt?

A
$\displaystyle 2$
B
$\displaystyle 3$
C
$\displaystyle 0$
D
$\displaystyle 1$