Đề khảo sát chất lượng Toán 12 lần 2 năm 2023–2024 — Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc

Câu 1

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục và không âm trên đoạn $[-1;3]$ . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$ và các đường thẳng $y = 0; x = -1; x = 3$ là

A
$\displaystyle S = \pi \int_{-1}^{3} f^2(x) dx$
B
$\displaystyle S = \int_{-1}^{3} f(x) dx$
C
$\displaystyle S = \pi \int_{-1}^{3} f(x) dx$
D
$\displaystyle S = \int_{-1}^{3} f^2(x) dx$

Câu 2

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(-1;3;2), B(2;-4;1)$ . Tọa độ của $\overrightarrow{AB}$ là

A
$\displaystyle (3;-7;-1)$
B
$\displaystyle (-3;7;1)$
C
$\displaystyle (3;-7;1)$
D
$\displaystyle (-3;-7;-1)$

Câu 3

Cho khối chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B, AB = 3a$ . Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA = 4a$ . Tính thể tích khối chóp đã cho.

A
$\displaystyle V = 18a^3$
B
$\displaystyle V = 3a^3$
C
$\displaystyle V = 4a^3$
D
$\displaystyle V = 6a^3$

Câu 4

Cho $a$ là số thực dương. Giá trị rút gọn của biểu thức $P = a^{\frac{4}{3}}\sqrt{a}$ bằng

A
$\displaystyle a^{\frac{13}{6}}$
B
$\displaystyle a^{\frac{11}{6}}$
C
$\displaystyle a^{\frac{10}{3}}$
D
$\displaystyle a^{\frac{7}{3}}$

Câu 5

Cho hình nón có bán kính đáy $r = \sqrt{3}$ và độ dài đường sinh $l = 4$ . Tính diện tích xung quanh của hình nón đã cho.

A
$\displaystyle S_{xq} = 8\sqrt{3}\pi$
B
$\displaystyle S_{xq} = 12\pi$
C
$\displaystyle S_{xq} = 4\sqrt{3}\pi$
D
$\displaystyle S_{xq} = \sqrt{39}\pi$

Câu 6

Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AB = 4, AD = 3$ quay xung quanh cạnh $AD$ ta được một hình trụ.

Chiều dài đường sinh của hình trụ đó bằng

A
$\displaystyle 7$
B
$\displaystyle 4$
C
$\displaystyle 5$
D
$\displaystyle 3$

Câu 7

Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $d: \begin{cases} x = 1 - t \\ y = -2 + 2t \\ z = 1 + t \end{cases}$ . Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của $d$ ?

A
$\displaystyle \vec{u} = (1;2;1)$
B
$\displaystyle \vec{u} = (1;-2;1)$
C
$\displaystyle \vec{u} = (-1;2;1)$
D
$\displaystyle \vec{u} = (-1;-2;1)$

Câu 8

Cho hàm số $f(x)$ có đồ thị như hình bên dưới. Hàm số $f(x)$ đồng biến trong khoảng nào dưới đây?

A
$\displaystyle (-1;+\infty)$
B
$\displaystyle (-\infty;1)$
C
$\displaystyle (1;+\infty)$
D
$\displaystyle (-1;1)$

Câu 9

Số đỉnh của khối đa diện đều loại $\{4;3\}$ là

A
$\displaystyle 8$
B
$\displaystyle 10$
C
$\displaystyle 12$
D
$\displaystyle 4$

Câu 10

Trên khoảng $(0;+\infty)$ , đạo hàm của hàm số $y = \log_5 x$ là

A
$\displaystyle y' = \dfrac{1}{x \ln 5}$
B
$\displaystyle y' = \dfrac{\ln 5}{x}$
C
$\displaystyle y' = \dfrac{1}{x}$
D
$\displaystyle y' = \dfrac{x}{\ln 5}$

Câu 11

Cho hàm số $f(x) = e^{3x}$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A
$\displaystyle \int f(x) \, dx = \dfrac{1}{3}e^x + C$
B
$\displaystyle \int f(x) \, dx = e^{3x} + C$
C
$\displaystyle \int f(x) \, dx = \dfrac{1}{3}e^{3x} + C$
D
$\displaystyle \int f(x) \, dx = 3e^{3x} + C$

Câu 12

Số phức $15 - 6i$ có phần thực bằng

A
$\displaystyle -6$
B
$\displaystyle 6$
C
$\displaystyle -15$
D
$\displaystyle 15$

Câu 13

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 2$ trên đoạn $[1;5]$ bằng

A
$\displaystyle -3$
B
$\displaystyle -2$
C
$\displaystyle 0$
D
$\displaystyle 52$

Câu 14

Cho hàm số bậc ba $y = f(x)$ có đồ thị là đường cong như hình bên.

Số nghiệm thực của phương trình $f(x) = 2$ là

A
$\displaystyle 1$
B
$\displaystyle 2$
C
$\displaystyle 4$
D
$\displaystyle 3$

Câu 15

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \dfrac{x+2}{x+1}$ có phương trình là

A
$\displaystyle x = -2$
B
$\displaystyle x = -1$
C
$\displaystyle y = 2$
D
$\displaystyle y = 1$

Câu 16

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau

\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x & -\infty & & 0 & & 3 & & +\infty \\ \hline f'(x) & & + & 0 & - & 0 & + & \\ \hline & & & 2 & & & & +\infty \\ f(x) & & \nearrow & & \searrow & & \nearrow & \\ & -\infty & & & & -4 & & \\ \hline \end{array}

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng

A
$\displaystyle -4$
B
$\displaystyle 3$
C
$\displaystyle 0$
D
$\displaystyle 2$

Câu 17

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ , $BA = a$ , $BC = a\sqrt{3}$ , cạnh bên $AA' = 2a$ (tham khảo hình vẽ)

Góc giữa đường thẳng $A'C$ với mặt phẳng $(ABC)$ bằng

A
$\displaystyle 60^{\circ}$
B
$\displaystyle 90^{\circ}$
C
$\displaystyle 45^{\circ}$
D
$\displaystyle 30^{\circ}$

Câu 18

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(0;1;1)$ và $B(1;2;3)$ . Phương trình của mặt phẳng $(P)$ đi qua $A$ và vuông góc với đường thẳng $AB$ là

A
$\displaystyle x+3y+4z-7=0$
B
$\displaystyle x+3y+4z-26=0$
C
$\displaystyle x+y+2z-3=0$
D
$\displaystyle x+y+2z-6=0$

Câu 19

Nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình $z^{2}-2z+5=0$ là

A
$\displaystyle 1-2i$
B
$\displaystyle 1+2i$
C
$\displaystyle -1+2i$
D
$\displaystyle -1-2i$

Câu 20

Tập nghiệm của phương trình $\log_{2}(x^{2}-x+2)=1$ là

A
$\displaystyle \{-1;0\}$
B
$\displaystyle \{1\}$
C
$\displaystyle \{0\}$
D
$\displaystyle \{0;1\}$

Câu 21

Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương có cạnh bằng $a$ .

A
$\displaystyle 4\pi a^{2}$
B
$\displaystyle 3\pi a^{2}$
C
$\displaystyle 12\pi a^{2}$
D
$\displaystyle 3a^{2}$

Câu 22

Phần ảo của số phức $z=1-3i$ là

A
$\displaystyle \sqrt{10}$
B
$\displaystyle -3$
C
$\displaystyle 3$
D
$\displaystyle 1$

Câu 23

Cho hàm số $f(x)=x^{2}+\frac{1}{2x-1}$ . Khẳng định nào dưới đây đúng?

A
$\displaystyle \int f(x)dx=2x+\frac{1}{2}\ln|2x-1|+C$
B
$\displaystyle \int f(x)dx=\frac{x^{3}}{3}-\frac{1}{2}\ln|2x-1|+C$
C
$\displaystyle \int f(x)dx=\frac{x^{3}}{3}+2\ln|2x-1|+C$
D
$\displaystyle \int f(x)dx=\frac{x^{3}}{3}+\frac{1}{2}\ln|2x-1|+C$

Câu 24

Trong không gian $Oxyz$ cho hai điểm $A(1;-3;5), B(3;7;-1)$ . Tọa độ trung điểm $M$ của $AB$ là

A
$\displaystyle M(1;5;-3)$
B
$\displaystyle M(2;2;2)$
C
$\displaystyle M(4;4;4)$
D
$\displaystyle M(2;10;-6)$

Câu 25

Với $a$ là số thực dương tùy ý, $\log(10a^{2})$ bằng

A
$\displaystyle 1-2\log a$
B
$\displaystyle 2\log a$
C
$\displaystyle 2+2\log a$
D
$\displaystyle 1+2\log a$

Câu 26

Cho $2^{x}=5$ . Giá trị của biểu thức $A=4^{x+1}+2^{2-x}$ bằng

A
$\displaystyle \frac{24}{5}$
B
$\displaystyle 5$
C
$\displaystyle \frac{504}{5}$
D
$\displaystyle \frac{504}{25}$

Câu 27

Cấp số cộng có số hạng đầu $u_{1}=2$ , công sai $d=3$ thì số hạng thứ ba là

A
$\displaystyle u_{3}=6$
B
$\displaystyle u_{3}=18$
C
$\displaystyle u_{3}=5$
D
$\displaystyle u_{3}=8$

Câu 28

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và $\int_{0}^{2}[3f(x)+x]dx=12$ thì $\int_{0}^{2}f(x)dx$ bằng

A
$\displaystyle -\frac{10}{3}$
B
$\displaystyle 6$
C
$\displaystyle 2$
D
$\displaystyle \frac{10}{3}$

Câu 29

Hàm số $y=(x-2)^{\sqrt{3}}$ có tập xác định là

A
$\displaystyle \mathbb{R}\setminus\{2\}$
B
$\displaystyle (2;+\infty)$
C
$\displaystyle \mathbb{R}$
D
$\displaystyle [2;+\infty)$

Câu 30

Trong không gian $Oxyz$ , khoảng cách giữa đường thẳng $\Delta: \dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y+2}{1} = \dfrac{z-1}{2}$ và mặt phẳng $(P): 2x-2y-z+4=0$ bằng

A
$\displaystyle \dfrac{8}{3}$
B
$\displaystyle 3$
C
$\displaystyle 2$
D
$\displaystyle \dfrac{1}{3}$

Câu 31

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(-1;-1;0)$ , $B(0;1;0)$ và mặt phẳng $(P): x+y+z+2=0$ . Gọi $M(a;b;c)$ với $(b<0)$ thuộc mặt phẳng $(P)$ sao cho $AM=\sqrt{2}$ và mặt phẳng $(ABM)$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$ . Khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt phẳng $x-2y-2z+4=0$ bằng

A
$\displaystyle \dfrac{5}{3}$
B
$\displaystyle 1$
C
$\displaystyle 2$
D
$\displaystyle 3$

Câu 32

Cho khối cầu tâm $I$ , bán kính $R=5(cm)$ . Cắt khối cầu đã cho bởi một mặt phẳng cách tâm $I$ một khoảng bằng $3(cm)$ ta được thiết diện là hình tròn $(C)$ . Diện tích hình tròn $(C)$ bằng

A
$\displaystyle 64\pi$
B
$\displaystyle 36\pi$
C
$\displaystyle 16\pi$
D
$\displaystyle 9\pi$

Câu 33

Tập nghiệm của bất phương trình $\dfrac{4^{x}-3\cdot 2^{x+1}+8}{2^{x+1}-1} \ge 0$ có dạng là $S=(a;b]\cup [c;+\infty)$ . Giá trị $\dfrac{a+b+c}{3}$ thuộc khoảng nào dưới đây?

A
$\displaystyle (-2;-1)$
B
$\displaystyle (-1;0)$
C
$\displaystyle (0;1)$
D
$\displaystyle (1;4)$

Câu 34

Tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị hàm số $y=x^{3}+3x^{2}+4x-2$ có phương trình là

A
$\displaystyle y=x-3$
B
$\displaystyle y=x+3$
C
$\displaystyle y=3x-1$
D
$\displaystyle y=-x-3$

Câu 35

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y=\dfrac{1}{3}x^{3}-mx^{2}+(m^{2}-4)x+3$ đạt cực đại tại $x=3$ .

A
$\displaystyle m=-7$
B
$\displaystyle m=5$
C
$\displaystyle m=1$
D
$\displaystyle m=-1$

Câu 36

Cho tập $S=\{1;2;3;...;19;20\}$ . Lấy ngẫu nhiên ba số thuộc $S$ . Xác suất để ba số lấy được lập thành một cấp số cộng là

A
$\displaystyle \dfrac{7}{38}$
B
$\displaystyle \dfrac{35}{38}$
C
$\displaystyle \dfrac{3}{38}$
D
$\displaystyle \dfrac{5}{38}$

Câu 37

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật, $AB=2$ , $AD=3$ . $SA=4$ và $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách từ $C$ đến mặt phẳng $(SBD)$ .

A
$\displaystyle \dfrac{2\sqrt{39}}{13}$
B
$\displaystyle \dfrac{12}{\sqrt{61}}$
C
$\displaystyle \dfrac{6}{\sqrt{61}}$
D
$\displaystyle \dfrac{24}{\sqrt{61}}$

Câu 38

Có bao nhiêu số nguyên $m$ để phương trình $\left[4^{x}-257\cdot 2^{x}+256\right]\cdot \log_{8}(x+m)=0$ có đúng hai nghiệm phân biệt?

A
$\displaystyle 8$
B
$\displaystyle 9$
C
$\displaystyle 7$
D
$\displaystyle 6$

Câu 39

Cho hàm số $y=f(x)=2x^{3}+ax^{2}+bx$ $(a,b\in \mathbb{R})$ . Biết hàm số $y=f'(x)$ có đồ thị như hình vẽ

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$ và $y=f'(x)$ bằng $\dfrac{m}{n}$ $(m\in \mathbb{Z}, n\in \mathbb{N}^{*})$ và $\dfrac{m}{n}$ là phân số tối giản. Khi đó $m+3n$ bằng

A
65
B
70
C
80
D
74

Câu 40

Cho hình nón có chiều cao $h=20$ , bán kính đáy $r=25$ . Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là $12$ . Tính diện tích $S$ của thiết diện đó.

A
$\displaystyle S=2000$
B
$\displaystyle S=1500$
C
$\displaystyle S=500$
D
$\displaystyle S=375$

Câu 41

Biết $\ln 1 + \ln 4 + \ln 9 + \cdots + \ln 10^{2} - 2\ln(7!) = a\ln 2 + b\ln 3 + c\ln 5$ , với $a, b, c$ là các số nguyên dương. Khi đó $(a;b;c)$ là

A
$\displaystyle (8;4;2)$
B
$\displaystyle (2;4;1)$
C
$\displaystyle (4;8;2)$
D
$\displaystyle (4;2;1)$

Câu 42

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $AB=a$ . Lấy điểm $E$ sao cho $\overrightarrow{BE} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ . Biết $SAE$ , $SAC$ là các tam giác cân tại $S$ , góc tạo bởi cạnh bên $SA$ và mặt phẳng đáy bằng $\varphi$ . Tính thể tích khối chóp $S.ABC$ biết $\tan \varphi = \dfrac{\sqrt{39}}{9}$ .

A
$\displaystyle \dfrac{13\sqrt{3}a^{3}}{324}$
B
$\displaystyle \dfrac{a^{3}\sqrt{13}}{36}$
C
$\displaystyle \dfrac{a^{3}\sqrt{26}}{72}$
D
$\displaystyle \dfrac{a^{3}\sqrt{3}}{24}$

Câu 43

Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S): x^{2} + (y-2)^{2} + (z+1)^{2} = 29$ , hai điểm $A(0;0;4), B(6;-2;6)$ và đường thẳng $d: \dfrac{x-4}{1} = \dfrac{y+8}{-1} = \dfrac{z-4}{2}$ . Gọi $M$ là điểm thuộc mặt cầu $(S)$ sao cho $\widehat{AMB} = 90^{o}$ và khoảng cách từ điểm $M$ đến đường thẳng $d$ là nhỏ nhất. Điểm $M$ thuộc mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau?

A
$\displaystyle 2x + y + 2z - 1 = 0$
B
$\displaystyle x + y + z - 2 = 0$
C
$\displaystyle x + y + z + 2 = 0$
D
$\displaystyle x + y + z = 0$

Câu 44

Cho lăng trụ đều $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bên bằng $2a$ . Gọi $M, O$ lần lượt là trung điểm của $A'B'$ và $A'C'$ . Tính thể tích tứ diện $ACOM$ biết khoảng cách giữa hai đường thẳng $AM$ , $CO$ bằng $\dfrac{4a}{9}$ .

A
$\displaystyle \dfrac{a^{3}}{6}$
B
$\displaystyle \dfrac{a^{3}}{12}$
C
$\displaystyle \dfrac{a^{3}}{9}$
D
$\displaystyle \dfrac{a^{3}}{4}$

Câu 45

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = x^{4} - 2(mx - 6x)^{2} + 1954$ có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích nhỏ hơn $2024$ ?

A
$\displaystyle 11$
B
$\displaystyle 8$
C
$\displaystyle 9$
D
$\displaystyle 10$

Câu 46

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và đồ thị hàm số $y = f'(x)$ như hình vẽ.

Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in [-50;50]$ để hàm số $y = f(1-2x) - 2mx^{2} + (4m+2)x + 1$ nghịch biến trên khoảng $(0;1)$ ?

A
$\displaystyle 50$
B
$\displaystyle 53$
C
$\displaystyle 52$
D
$\displaystyle 51$

Câu 47

Tập nghiệm của bất phương trình $7^{x^{2}-16} + (x^{2}-16)\cdot 2024^{x-4} < 1$ là khoảng $(a;b)$ . Hiệu $b-a$ bằng

A
$\displaystyle 8$
B
$\displaystyle 4$
C
$\displaystyle 6$
D
$\displaystyle 2$

Câu 48

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $[0;+\infty)$ và thỏa mãn $f(x^{2}+4x) = -2x^{2}-7x+1$ , $\forall x \in [0;+\infty)$ . Biết $f(5) = -8$ , tính $I = \int_{0}^{5} x\cdot f'(x) dx$ .

A
$\displaystyle I = -\dfrac{68}{3}$
B
$\displaystyle I = -\dfrac{98}{3}$
C
$\displaystyle I = -\dfrac{58}{3}$
D
$\displaystyle I = \dfrac{53}{3}$

Câu 49

Cho tứ diện đều $ABCD$ có cạnh bằng $a (a > 0)$ . Thể tích của khối cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của tứ diện $ABCD$ bằng

A
$\displaystyle \dfrac{\sqrt{2}}{24}\pi a^3$
B
$\displaystyle \dfrac{9\sqrt{2}}{8}\pi a^3$
C
$\displaystyle \dfrac{\sqrt{2}}{3}\pi a^3$
D
$\displaystyle \dfrac{8\sqrt{2}}{3}\pi a^3$

Câu 50

Cho 2 số phức $z_1, z_2$ thỏa mãn $|z_1| = a; |z_2| = b$ và $|z_1 - 2z_2| = 6; |3z_1 + z_2| = 4$ . Giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \dfrac{a^2 + b^2 + 2ab}{10 + ab}$ thuộc khoảng nào sau đây?

A
$\displaystyle (2;3)$
B
$\displaystyle (0;1)$
C
$\displaystyle \left(\dfrac{3}{2};4\right)$
D
$\displaystyle (1;2)$