Đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi Toán 7 năm 2024–2025 — Phòng GD&ĐT Vinh, Nghệ An

Câu 1

4,5 điểm

1)
Tính giá trị các biểu thức sau:
1. a)
  $A = \frac{\frac{3}{4} - \frac{3}{11} + \frac{3}{13}}{\frac{5}{4} - \frac{5}{11} + \frac{5}{13}} + \frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4}}{\frac{5}{4} - \frac{5}{6} + \frac{5}{8}}$
2. b)
  $B = 1 + \frac{1}{2}(1+2) + \frac{1}{3}(1+2+3) + \frac{1}{4}(1+2+3+4) + \dots + \frac{1}{57}(1+2+3+\dots+57)$
2)
Cho các số dương $a, b, c, d$ thỏa mãn $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ và $c \neq d$ . Chứng minh: $\frac{(a^{24} + b^{24})^{25}}{(c^{24} + d^{24})^{25}} = \frac{(a^{25} - b^{25})^{24}}{(c^{25} - d^{25})^{24}}$

Câu 2

4,0 điểm

a)
Tìm $x, y, z$ biết $\frac{3x - 2y}{4} = \frac{2z - 4x}{3} = \frac{4y - 3z}{2}$ và $x + y + z = 18$
b)
Tìm tất cả các số tự nhiên $x, y$ sao cho: $2^{x} + 2025 = |y - 2024| + y$
c)
Tìm các số $a, b, c$ nguyên dương thỏa mãn $a^{3} + 3a^{2} + 5 = 5^{b}$ và $a + 3 = 5^{c}$

Câu 3

3,5 điểm

1)
Cho đa thức $f(x) = 2025x^{4} - 30(25k + 20)x^{2} + k^{2} - 100$ (với $k$ là số thực dương cho trước). Biết đa thức $f(x)$ có đúng ba nghiệm phân biệt $a, b, c$ với $a < b < c$ . Tính hiệu $a - c$ .
2)
Hai ngọn nến hình trụ có chiều cao và đường kính khác nhau được đặt thẳng đứng trên mặt bàn. Ngọn nến thứ nhất cháy hết trong 6 giờ, ngọn nến thứ hai cháy hết trong 8 giờ. Hai ngọn nến được thắp sáng cùng lúc, sau 3 giờ chúng có cùng chiều cao. Giả sử tốc độ tiêu hao của hai cây nến khi cháy là không đổi.
1. a)
  Tìm tỉ lệ chiều cao lúc đầu của hai ngọn nến.
2. b)
  Biết tổng chiều cao lúc đầu của hai ngọn nến là $63\text{cm}$ . Tính chiều cao lúc đầu của mỗi ngọn nến.

Câu 4

6,0 điểm

Cho $\triangle ABC$ có 3 góc nhọn, $AB < AC < BC$ . Các tia phân giác của góc $A$ và góc $C$ cắt nhau tại $O$ . Kẻ $OF \perp BC$ $(F \in BC)$ , $OH \perp AC$ $(H \in AC)$ . Lấy điểm $I$ trên đoạn $FC$ sao cho $FI = AH$ . Gọi $K$ là giao điểm của $FH$ và $AI$ .

a)
Chứng minh $\triangle FCH$ cân;
b)
Qua $I$ kẻ $IG // AC$ $(G \in FH)$ . Chứng minh: $K$ là trung điểm của $GH$ ;
c)
Chứng minh 3 điểm $B, O, K$ thẳng hàng.

Câu 5

2,0 điểm

Người ta làm một nhà kính trồng cây thí nghiệm gồm 2 phần, phần dưới là một hình hộp chữ nhật có kích thước $4\text{m}$ , $8\text{m}$ , $12\text{m}$ và phần trên là một hình lăng trụ đứng có đáy tam giác cân với cạnh bên $5\text{m}$ , chiều cao ứng với cạnh đáy dài $3\text{m}$ (hình vẽ bên) được ghép hoàn toàn bằng kính cường lực. Biết rằng mỗi mét vuông kính cường lực có giá $800$ nghìn đồng. Tính chi phí mua kính cường lực để ghép được ngôi nhà này (giả sử các chỗ ghép nối không đáng kể).

Hình vẽ nhà kính trồng cây thí nghiệm gồm hình hộp chữ nhật và lăng trụ đứng đáy tam giác cân