Đề giao lưu học sinh giỏi Toán 7 năm 2024–2025 — Phòng GD&ĐT Chí Linh, Hải Dương

Câu 1

1,0 điểm

1)
$B = 81 \cdot \left[ \dfrac{12 - \dfrac{12}{7} - \dfrac{12}{289} - \dfrac{12}{85}}{4 - \dfrac{4}{7} - \dfrac{4}{289} - \dfrac{4}{85}} : \dfrac{5 + \dfrac{5}{13} + \dfrac{5}{169} + \dfrac{5}{91}}{6 + \dfrac{6}{13} + \dfrac{6}{169} + \dfrac{6}{91}} \right] \cdot \dfrac{10}{3^{4}}$
2)
$A = \dfrac{1}{31}\left[ \dfrac{31}{5}\left(9 - \dfrac{1}{2}\right) - \dfrac{17}{2}\left(4 + \dfrac{1}{5}\right) \right] + \left( \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{12} + ... + \dfrac{1}{930} \right)$

Câu 2

2,0 điểm

1)
Với $x \ge 0$ và $x, y$ thỏa mãn $8|x^2 - 81| + 3|y + 1|^{2025} = 0$
2)
Cho $n$ là số tự nhiên có 2 chữ số. Tìm $n$ biết $n + 4$ và $2n$ là số chính phương.

Câu 3

3,0 điểm

1)
Cho dãy tỉ số bằng nhau: $\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{a_2}{a_3} = ... = \dfrac{a_{2024}}{a_{2025}} = \dfrac{a_{2025}}{a_1}$ (giả sử các tỉ số đã cho đều có nghĩa)

Tính giá trị biểu thức $B = \dfrac{(a_1 + a_2 + ... + a_{2025})^2}{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + ... + a_{2025}^2}$ .
2)
Cho đa thức bậc hai: $A(x) = ax^2 + bx + c$ ( $x$ là ẩn; $a, b, c$ là hệ số)
1. a)
  Tìm $a, b, c$ biết rằng: $A(0) = 2024$ ; $A(1) = 2025$ ; $A(-1) = 2027$
2. b)
  Cho đa thức $B(x) = -2x^3 - 1$
  
  Tìm đa thức $C(x)$ , biết rằng: $A(x) \cdot B(x) - C(x) = -4x^5 + 2x^4 - 2x^2$ .
3)
Viết ngẫu nhiên một số tự nhiên có 2 chữ số lớn hơn 40. Tính xác suất của các biến cố sau:
1. a)
  A: “Số tự nhiên được viết ra là số chia hết cho 7”
2. b)
  B: “Số tự nhiên được viết ra có tổng các chữ số hàng chục và hàng đơn vị bằng 9”.

Câu 4

3,0 điểm

Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ . Lấy điểm $D$ nằm giữa hai điểm $B$ và $C$ sao cho $CD < \dfrac{1}{2}CB$ . Trên tia đối của tia $BC$ lấy điểm $E$ sao cho $BE = CD$ . Các đường thẳng vuông góc với $BC$ kẻ từ $D$ và $E$ cắt các đường thẳng $AC$ và $AB$ lần lượt ở $K$ và $F$ .

a)
Chứng minh rằng: $CK = BF$ .
b)
Đường thẳng $BC$ cắt $FK$ tại điểm $I$ . Chứng minh $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $FK$ và $EK // FD$ .
c)
Qua $I$ kẻ đường thẳng vuông góc với $FK$ cắt đường cao $AH$ của $\Delta ABC$ ( $H \in BC$ ) tại $O$ . Chứng minh: $AH > AB - OH$ .

Câu 5

1,0 điểm

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$M = (7x - 5y)^{2010} + (2z - 3x)^{2020} + (xy + yz + zx - 2000)^{2030} + 2025$